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Interrogation — Ch07 : Dérivation : composée et convexité

Terminale générale | Mathématiques | Durée : 30 min | /20

Dernière mise à jour : 21 juin 2026

Nom : _______________________ Prénom : _______________________ Date : __________

Exercice 1 — Dérivée d'une fonction composée (4 pts)

Dériver les fonctions suivantes (on ne demande pas de simplifier davantage que nécessaire) :

  1. \(f(x) = (3x-2)^4\)
  2. \(g(x) = e^{-2x+5}\)
  3. \(h(x) = \sqrt{x^2+9}\)
  4. \(k(x) = \dfrac{1}{(2x+1)^3}\)

Exercice 2 — Dérivée seconde (3 pts)

Soit \(f(x) = x^3 - 6x^2 + 5x - 2\).

  1. Calculer \(f'(x)\).
  2. Calculer \(f''(x)\).
  3. Résoudre l'équation \(f''(x) = 0\).

Exercice 3 — Convexité par la dérivée seconde (4 pts)

Soit \(f(x) = x^3 - 3x^2 + 1\) définie sur \(\mathbb{R}\).

  1. Calculer \(f''(x)\).
  2. Étudier le signe de \(f''(x)\) selon les valeurs de \(x\).
  3. En déduire les intervalles sur lesquels \(f\) est convexe et ceux sur lesquels \(f\) est concave.

Exercice 4 — Point d'inflexion (4 pts)

On reprend la fonction \(f(x) = x^3 - 3x^2 + 1\) de l'exercice 3.

  1. Justifier que la courbe de \(f\) admet un unique point d'inflexion et donner son abscisse.
  2. Calculer l'ordonnée de ce point d'inflexion.
  3. Déterminer l'équation de la tangente à la courbe au point d'inflexion.

Exercice 5 — Convexité et inégalité (5 pts)

On considère la fonction \(f(x) = e^{x}\) définie sur \(\mathbb{R}\).

  1. Calculer \(f''(x)\) et justifier que \(f\) est convexe sur \(\mathbb{R}\).
  2. Déterminer l'équation de la tangente \(T\) à la courbe de \(f\) au point d'abscisse \(0\).
  3. En utilisant la position de la courbe par rapport à \(T\), démontrer que pour tout réel \(x\) : \(e^{x} \ge 1+x\).

Correction

Exercice 1.

a) \(u(x)=3x-2\), \(u'(x)=3\). \(f'(x)=3\times 4(3x-2)^3 = 12(3x-2)^3\).

b) \(u(x)=-2x+5\), \(u'(x)=-2\). \(g'(x)=-2\,e^{-2x+5}\).

c) \(u(x)=x^2+9\), \(u'(x)=2x\). \(h'(x)=\dfrac{2x}{2\sqrt{x^2+9}}=\dfrac{x}{\sqrt{x^2+9}}\).

d) \(k(x)=(2x+1)^{-3}\). \(k'(x)=-3\times 2\times(2x+1)^{-4}=\dfrac{-6}{(2x+1)^4}\).

Exercice 2.

a) \(f'(x)=3x^2-12x+5\).

b) \(f''(x)=6x-12\).

c) \(f''(x)=0 \iff 6x-12=0 \iff x=2\).

Exercice 3.

a) \(f'(x)=3x^2-6x\), donc \(f''(x)=6x-6=6(x-1)\).

b) \(f''(x)=0 \iff x=1\). Pour \(x\lt 1\), \(f''(x)\lt 0\) ; pour \(x\gt 1\), \(f''(x)\gt 0\).

c) \(f\) est concave sur \(]-\infty\,;1]\) (où \(f''\le 0\)) et convexe sur \([1\,;+\infty[\) (où \(f''\ge 0\)).

Exercice 4.

a) \(f''(x)=6(x-1)\) s'annule en \(x=1\) et change de signe en \(1\) (négatif puis positif). Il y a donc un unique point d'inflexion, d'abscisse \(x=1\).

b) \(f(1)=1^3-3\times 1^2+1=1-3+1=-1\). Le point d'inflexion est \((1\,;-1)\).

c) \(f'(1)=3\times 1^2-6\times 1=3-6=-3\). Tangente : \(y=f'(1)(x-1)+f(1)=-3(x-1)-1=-3x+3-1=-3x+2\).

Exercice 5.

a) \(f'(x)=e^x\) et \(f''(x)=e^x\). Comme \(e^x\gt 0\) pour tout réel \(x\), on a \(f''\gt 0\) : \(f\) est convexe sur \(\mathbb{R}\).

b) \(f(0)=e^0=1\) et \(f'(0)=e^0=1\). Tangente en \(0\) : \(y=f'(0)(x-0)+f(0)=x+1\), soit \(T:\ y=1+x\).

c) \(f\) étant convexe, sa courbe est au-dessus de chacune de ses tangentes, en particulier de \(T\). Donc pour tout réel \(x\), \(e^x \ge 1+x\). \(\square\)