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Chapitre 7 – Dérivation : composée et convexité

Exercices par capacités · Terminale générale

Capacités travaillées

C1 — Calculer la dérivée d'une fonction composée

Exercice 1

Dériver les fonctions suivantes :

  1. \(f(x) = (5x-2)^3\)
  2. \(g(x) = e^{2x+1}\)
  3. \(h(x) = \sqrt{3x-1}\)
  4. \(k(x) = \frac{1}{x^2+1}\)
  1. \(f'(x) = 5\times 3(5x-2)^2 = 15(5x-2)^2\).
  2. \(g'(x) = 2e^{2x+1}\).
  3. \(h'(x) = \frac{3}{2\sqrt{3x-1}}\).
  4. \(k'(x) = \frac{-2x}{(x^2+1)^2}\).
Exercice 2

Dériver les fonctions suivantes :

  1. \(f(x) = e^{-x^2/2}\)
  2. \(g(x) = (1+e^x)^4\)
  3. \(h(x) = \sqrt{e^x+1}\)
  1. \(u=-x^2/2\), \(u'=-x\). \(f'(x) = -xe^{-x^2/2}\).
  2. \(u=1+e^x\), \(u'=e^x\). \(g'(x) = 4e^x(1+e^x)^3\).
  3. \(u=e^x+1\), \(u'=e^x\). \(h'(x) = \frac{e^x}{2\sqrt{e^x+1}}\).
Exercice 3

Dériver \(f(x) = x^2 e^{-x}\) et \(g(x) = \frac{e^x}{x}\) (\(x\neq 0\)).

\(f'(x) = 2xe^{-x}+x^2(-e^{-x}) = x(2-x)e^{-x}\).

\(g'(x) = \frac{xe^x-e^x}{x^2} = \frac{(x-1)e^x}{x^2}\).

C2 — Calculer \(f'\), déterminer les limites et étudier les variations

Exercice 4

Étudier les variations de \(f(x) = x^2 e^{-x}\) sur \(\mathbb{R}\) (limites, dérivée, tableau).

Limites : \(\lim_{-\infty}f = +\infty\) (car \(x^2\to+\infty\) et \(e^{-x}\to+\infty\)). \(\lim_{+\infty}f = 0\) (croissances comparées).

\(f'(x) = x(2-x)e^{-x}\). \(f'=0\) pour \(x=0\) ou \(x=2\). \(e^{-x}>0\), donc signe de \(f'\) = signe de \(x(2-x)\).

\(f'>0\) sur \(]0;2[\), \(f'<0\) sur \(]-\infty;0[\) et \(]2;+\infty[\).

Min local en \(x=0\) : \(f(0)=0\). Max local en \(x=2\) : \(f(2)=4e^{-2}\approx 0{,}54\).

Exercice 5

Soit \(f(x) = \frac{x^2}{x-1}\) définie sur \(\mathbb{R}\setminus\{1\}\).

  1. Déterminer les limites de \(f\) aux bornes du domaine.
  2. Calculer \(f'\) et dresser le tableau de variations.
  3. Calculer \(f''\) et déterminer la convexité.
  1. \(\lim_{\pm\infty}f\) : division \(x^2=(x-1)(x+1)+1\), \(f(x)=x+1+\frac{1}{x-1}\). AO \(y=x+1\).
    \(\lim_{1^+}f=+\infty\), \(\lim_{1^-}f=-\infty\). AV \(x=1\).
  2. \(f'(x) = \frac{2x(x-1)-x^2}{(x-1)^2}=\frac{x^2-2x}{(x-1)^2}=\frac{x(x-2)}{(x-1)^2}\). \(f'=0\) pour \(x=0\) ou \(x=2\).
    \(f'>0\) sur \(]-\infty;0[\) et \(]2;+\infty[\). \(f'<0\) sur \(]0;1[\) et \(]1;2[\).
    Max local : \(f(0)=0\). Min local : \(f(2)=4\).
  3. \(f'(x)=1-\frac{1}{(x-1)^2}\). \(f''(x) = \frac{2}{(x-1)^3}\). \(f''>0\) pour \(x>1\) (convexe), \(f''<0\) pour \(x<1\) (concave). Pas de point d'inflexion (changement en \(x=1\) qui n'est pas dans le domaine).
Exercice 6

Soit \(f(x) = e^{2x}-4e^x+3\). Résoudre \(f(x)=0\) et étudier le signe de \(f\).

On pose \(X = e^x > 0\). \(f(x) = X^2-4X+3 = (X-1)(X-3)\).

\(f(x)=0 \Leftrightarrow X=1\) ou \(X=3\), soit \(x=0\) ou \(x=\ln 3\).

Signe : \(f(x)\geqslant 0\) pour \(x\leqslant 0\) ou \(x\geqslant\ln 3\), et \(f(x)\leqslant 0\) pour \(0\leqslant x\leqslant\ln 3\).

C3 — Démontrer des inégalités en utilisant la convexité

Exercice 7

Montrer que pour tout \(x \geqslant 0\) : \(e^x \geqslant 1+x\).

\(f(x)=e^x\) est convexe sur \(\mathbb{R}\) (\(f''>0\)). La tangente en \(a=0\) est \(y=1+x\).

Par convexité, la courbe est au-dessus de ses tangentes : \(e^x \geqslant 1+x\) pour tout \(x\). □

Exercice 8

Montrer que pour tout \(x > 0\) : \(\ln x \leqslant x - 1\).

\(f(x) = \ln x\) est concave sur \(]0;+\infty[\) (\(f''(x) = -\frac{1}{x^2}<0\)).

Tangente en \(a=1\) : \(y = \ln 1 + \frac{1}{1}(x-1) = x-1\).

Par concavité, la courbe est en dessous de ses tangentes : \(\ln x \leqslant x-1\) pour tout \(x>0\). □

Exercice 9

En utilisant la convexité de \(x \mapsto x^2\), montrer que pour tous réels \(a, b\) : \(\left(\frac{a+b}{2}\right)^2 \leqslant \frac{a^2+b^2}{2}\).

\(f(x)=x^2\) est convexe (\(f''=2>0\)). Par définition de la convexité :

\(f\left(\frac{a+b}{2}\right) \leqslant \frac{f(a)+f(b)}{2}\), soit \(\left(\frac{a+b}{2}\right)^2 \leqslant \frac{a^2+b^2}{2}\). □

En développant : \(\frac{a^2+2ab+b^2}{4} \leqslant \frac{a^2+b^2}{2}\), soit \(2ab \leqslant a^2+b^2\), c'est-à-dire \((a-b)^2 \geqslant 0\). ✓

Exercice 10

Montrer que pour tout \(x > 0\) : \(\frac{2x}{x+1} \leqslant \ln(1+x) \leqslant x\).

Indication : utiliser la concavité de \(\ln\) et l'inégalité \(\ln x \leqslant x-1\).

Inégalité de droite : On applique \(\ln u \leqslant u-1\) avec \(u=1+x\) : \(\ln(1+x)\leqslant x\). ✓

Inégalité de gauche : On pose \(g(x) = \ln(1+x)-\frac{2x}{x+1}\). \(g(0)=0\). \(g'(x) = \frac{1}{1+x}-\frac{2}{(x+1)^2}=\frac{x+1-2}{(x+1)^2}=\frac{x-1}{(x+1)^2}\).

\(g'(x)<0\) pour \(0<x<1\), \(g'(x)>0\) pour \(x>1\). Min en \(x=1\) : \(g(1)=\ln 2-1\approx -0{,}31<0\).

Hmm, \(g(1)<0\). Vérifions l'inégalité : \(\frac{2}{2}=1\) et \(\ln 2\approx 0{,}69\). \(0{,}69 < 1\) : l'inégalité de gauche est vérifiée (la borne gauche est plus petite). Mais \(g(1)=\ln 2-1<0\) signifie \(\ln(1+1)<\frac{2\times 1}{2}=1\). En fait \(\ln 2\approx 0{,}69\) et \(\frac{2}{2}=1\), donc \(\frac{2x}{x+1}\leqslant \ln(1+x)\) donne \(1\leqslant 0{,}69\) : faux.

L'inégalité \(\frac{2x}{x+1}\leqslant \ln(1+x)\) n'est pas valable pour tout \(x>0\). Elle est en fait correcte pour \(0\leqslant x \leqslant 1\), mais pas au-delà. L'encadrement complet ne tient donc que sur \([0;1]\).

C4 — Lire sur une représentation graphique la convexité et les points d'inflexion

Exercice 11

Soit \(f(x) = x^4 - 4x^3\). Calculer \(f''\) et déterminer les intervalles de convexité/concavité et les points d'inflexion.

\(f'(x) = 4x^3-12x^2 = 4x^2(x-3)\). \(f''(x) = 12x^2-24x = 12x(x-2)\).

\(f''=0\) pour \(x=0\) et \(x=2\). \(f''>0\) sur \(]-\infty;0[\cup]2;+\infty[\) (convexe), \(f''<0\) sur \(]0;2[\) (concave).

Points d'inflexion : \((0; 0)\) et \((2; -16)\).

Exercice 12

On donne \(f(x) = \frac{1}{1+e^{-x}}\) (fonction logistique).

  1. Calculer \(f'\) et montrer que \(f\) est strictement croissante.
  2. Calculer \(f''\) et montrer que le point d'inflexion est en \(x=0\).
  3. Interpréter : que vaut \(f(0)\) ? Quel lien avec la symétrie de la courbe ?
  1. \(f(x)=\frac{e^x}{e^x+1}\). \(f'(x)=\frac{e^x(e^x+1)-e^x\cdot e^x}{(e^x+1)^2}=\frac{e^x}{(e^x+1)^2}>0\). \(f\) est strictement croissante.
  2. \(f'(x) = e^x(e^x+1)^{-2}\). \(f''(x) = e^x(e^x+1)^{-2}+e^x\cdot(-2)e^x(e^x+1)^{-3} = \frac{e^x(e^x+1-2e^x)}{(e^x+1)^3}=\frac{e^x(1-e^x)}{(e^x+1)^3}\).
    \(f''=0 \Leftrightarrow e^x=1 \Leftrightarrow x=0\). \(f''>0\) pour \(x<0\), \(f''<0\) pour \(x>0\). Point d'inflexion en \(x=0\).
  3. \(f(0)=\frac{1}{2}\). La courbe admet un centre de symétrie en \(\left(0;\frac{1}{2}\right)\) : c'est le point d'inflexion de la sigmoïde.
Exercice 13

On donne le tableau de variations de \(f'\) :

\(x\)\(-\infty\)\(-1\)\(2\)\(+\infty\)
\(f'(x)\)\(\nearrow\)\(0\)\(\searrow\)\(-3\)\(\nearrow\)

En déduire : les intervalles de convexité/concavité de \(f\), les points d'inflexion éventuels, et les extremums de \(f\).

Convexité : \(f'\) croissante ↔ \(f\) convexe. \(f'\) décroissante ↔ \(f\) concave.

  • \(f\) convexe sur \(]-\infty;-1[\) et \(]2;+\infty[\)
  • \(f\) concave sur \(]-1;2[\)

Points d'inflexion : changement de convexité en \(x=-1\) et \(x=2\).

Extremums : \(f'(-1)=0\) et \(f'\) change de signe (positif puis négatif… non, \(f'\) passe par 0 en étant d'abord croissante puis décroissante). Il faut connaître le signe de \(f'\). \(f'(-1)=0\), \(f'(2)=-3<0\). Comme \(f'\) croît jusqu'à \(-1\) et vaut 0, elle était négative avant \(-1\). Puis elle décroît et vaut \(-3\) en \(2\), donc \(f'<0\) sur \(]-1;+\infty[\) (au moins jusqu'en 2). Après 2, \(f'\) croît depuis \(-3\).

Si \(f'\) tend vers \(+\infty\) en \(+\infty\), elle s'annule en un point \(x_0>2\) : c'est là qu'il y a un minimum de \(f\). Le maximum de \(f'\) en \(-1\) ne correspond pas à un extremum de \(f\) (car \(f'\) ne change pas de signe si elle était négative avant et après).