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Interrogation — Ch06 : Limites des fonctions

Terminale générale | Mathématiques | Durée : 30 min | /20

Dernière mise à jour : 21 juin 2026

Nom : _______________________ Prénom : _______________________ Date : __________

Exercice 1 — Limites de polynômes en l'infini (3 pts)

Déterminer les limites suivantes :

  1. \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} (2x^2 - 7x + 3)\)
  2. \(\displaystyle\lim_{x \to -\infty} (-x^3 + 5x)\)
  3. \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \dfrac{3}{x^2 + 1}\)

Exercice 2 — Limite en un point et asymptote verticale (4 pts)

On considère la fonction \(f\) définie par \(f(x) = \dfrac{1}{x - 3}\).

  1. Déterminer \(\displaystyle\lim_{x \to 3^+} f(x)\).
  2. Déterminer \(\displaystyle\lim_{x \to 3^-} f(x)\).
  3. Quelle asymptote de la courbe de \(f\) peut-on en déduire ?

Exercice 3 — Forme indéterminée : fraction rationnelle (4 pts)

On considère la fonction \(g\) définie pour \(x \ne 2\) par \(g(x) = \dfrac{4x^2 - x + 1}{x^2 - 4}\).

  1. Déterminer \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} g(x)\) en factorisant par \(x^2\).
  2. En déduire l'équation de l'asymptote horizontale en \(+\infty\).

Exercice 4 — Quantité conjuguée (5 pts)

On souhaite déterminer \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \left(\sqrt{x^2 + 3x} - x\right)\).

  1. Quelle est la forme indéterminée rencontrée ?
  2. Multiplier l'expression par sa quantité conjuguée \(\dfrac{\sqrt{x^2+3x}+x}{\sqrt{x^2+3x}+x}\) et simplifier le numérateur.
  3. En déduire la limite.

Exercice 5 — Croissances comparées (4 pts)

Déterminer les limites suivantes :

  1. \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \dfrac{x^3}{e^x}\)
  2. \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \left(e^x - x^2\right)\)

Correction

Exercice 1.

a) Le terme dominant est \(2x^2\). On factorise : \(2x^2 - 7x + 3 = x^2\left(2 - \frac{7}{x} + \frac{3}{x^2}\right)\). Quand \(x \to +\infty\), \(x^2 \to +\infty\) et le facteur tend vers \(2 \gt 0\), donc la limite est \(+\infty\).

b) \(-x^3 + 5x = x^3\left(-1 + \frac{5}{x^2}\right)\). Quand \(x \to -\infty\), \(x^3 \to -\infty\) et le facteur tend vers \(-1 \lt 0\). Le produit (négatif × négatif) tend vers \(+\infty\).

c) \(x^2 + 1 \to +\infty\), donc \(\dfrac{3}{x^2+1} \to \mathbf{0}\).

Exercice 2.

a) Quand \(x \to 3^+\), \(x - 3 \to 0^+\), donc \(\dfrac{1}{x-3} \to +\infty\).

b) Quand \(x \to 3^-\), \(x - 3 \to 0^-\), donc \(\dfrac{1}{x-3} \to -\infty\).

c) Puisque la limite est infinie quand \(x \to 3\), la droite d'équation \(x = 3\) est asymptote verticale à la courbe de \(f\).

Exercice 3.

a) Forme indéterminée \(\frac{\infty}{\infty}\). On factorise par \(x^2\) au numérateur et au dénominateur :

\[g(x) = \frac{x^2\left(4 - \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2}\right)}{x^2\left(1 - \frac{4}{x^2}\right)} = \frac{4 - \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2}}{1 - \frac{4}{x^2}} \xrightarrow[x \to +\infty]{} \frac{4}{1} = 4.\]

Limite : 4.

b) Puisque \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty} g(x) = 4\), la droite d'équation \(y = 4\) est asymptote horizontale en \(+\infty\).

Exercice 4.

a) Quand \(x \to +\infty\), \(\sqrt{x^2+3x} \to +\infty\) et \(x \to +\infty\) : il s'agit de la forme indéterminée \(+\infty - \infty\).

b) On multiplie par la quantité conjuguée :

\[\sqrt{x^2+3x} - x = \frac{\left(\sqrt{x^2+3x} - x\right)\left(\sqrt{x^2+3x} + x\right)}{\sqrt{x^2+3x} + x} = \frac{(x^2 + 3x) - x^2}{\sqrt{x^2+3x} + x} = \frac{3x}{\sqrt{x^2+3x} + x}.\]

c) Pour \(x \gt 0\), on factorise \(x\) (avec \(\sqrt{x^2} = x\) car \(x \gt 0\)) :

\[\frac{3x}{\sqrt{x^2+3x} + x} = \frac{3x}{x\sqrt{1 + \frac{3}{x}} + x} = \frac{3}{\sqrt{1 + \frac{3}{x}} + 1} \xrightarrow[x \to +\infty]{} \frac{3}{\sqrt{1} + 1} = \frac{3}{2}.\]

Limite : \(\dfrac{3}{2}\).

Exercice 5.

a) Par croissances comparées, l'exponentielle l'emporte sur toute puissance : \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \dfrac{x^3}{e^x} = \mathbf{0}\).

b) On factorise par \(e^x\) : \(e^x - x^2 = e^x\left(1 - \dfrac{x^2}{e^x}\right)\). Or \(\dfrac{x^2}{e^x} \to 0\) (croissances comparées), donc le facteur tend vers \(1\), et \(e^x \to +\infty\). Ainsi \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} (e^x - x^2) = \mathbf{+\infty}\).