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Chapitre 6 – Limites des fonctions

Exercices par capacités · Terminale générale

Capacités travaillées

C1 — Déterminer la limite d'une suite ou d'une fonction

Exercice 1

Déterminer les limites suivantes :

  1. \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \frac{4x^3-x}{2x^3+3x^2}\)
  2. \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \frac{x+1}{x^2-1}\)
  3. \(\displaystyle\lim_{x \to -\infty} \frac{x^4+2}{3x^2-x}\)
  1. Factorisation par \(x^3\) : \(\frac{4-1/x^2}{2+3/x} \to 2\).
  2. Factorisation par \(x^2\) : \(\frac{1/x+1/x^2}{1-1/x^2} \to \frac{0}{1} = 0\).
  3. Degré du numérateur (4) > degré du dénominateur (2). \(\frac{x^4}{3x^2}=\frac{x^2}{3}\to+\infty\).
Exercice 2

Déterminer les limites en les points indiqués :

  1. \(\displaystyle\lim_{x \to 3^+} \frac{2x}{x-3}\)
  2. \(\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{x^2+x}{x}\)
  3. \(\displaystyle\lim_{x \to 1} \frac{x^3-1}{x-1}\)
  1. \(x\to 3^+\) : numérateur \(\to 6>0\), dénominateur \(\to 0^+\). Donc \(\to +\infty\).
  2. \(\frac{x^2+x}{x}=x+1\) pour \(x\neq 0\). \(\lim_{x\to 0}(x+1)=1\).
  3. FI \(\frac{0}{0}\). \(x^3-1=(x-1)(x^2+x+1)\). Donc \(\frac{x^3-1}{x-1}=x^2+x+1 \to 3\).
Exercice 3

Déterminer les limites suivantes (croissances comparées) :

  1. \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \frac{e^x}{x^3}\)
  2. \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} x^5\,e^{-2x}\)
  3. \(\displaystyle\lim_{x \to -\infty} x^2\,e^x\)
  1. Par croissances comparées : \(\frac{e^x}{x^3}\to +\infty\).
  2. \(x^5 e^{-2x} = \frac{x^5}{e^{2x}}\). On pose \(X=2x\) : \(\frac{(X/2)^5}{e^X}=\frac{X^5}{32e^X}\to 0\).
  3. On pose \(X=-x\to+\infty\) : \(x^2e^x=X^2e^{-X}=\frac{X^2}{e^X}\to 0\).
Exercice 4

Déterminer \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \left(\sqrt{x^2+3x}-x\right)\).

FI \(+\infty-\infty\). Expression conjuguée :

\(\frac{x^2+3x-x^2}{\sqrt{x^2+3x}+x}=\frac{3x}{\sqrt{x^2+3x}+x}=\frac{3}{\sqrt{1+3/x}+1}\to\frac{3}{2}\).

Exercice 5

Montrer que \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \frac{x+\cos x}{x} = 1\).

\(\frac{x+\cos x}{x} = 1+\frac{\cos x}{x}\). Or \(-\frac{1}{x}\leqslant\frac{\cos x}{x}\leqslant\frac{1}{x}\) et \(\frac{1}{x}\to 0\).

Par les gendarmes : \(\frac{\cos x}{x}\to 0\), donc \(\frac{x+\cos x}{x}\to 1\).

Exercice 6

Déterminer les limites suivantes (composition) :

  1. \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} e^{-x^2}\)
  2. \(\displaystyle\lim_{x \to 0^+} \sqrt{e^x - 1}\)
  3. \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \frac{1}{1+e^{-x}}\)
  1. \(-x^2\to -\infty\), \(e^{-x^2}\to 0\).
  2. \(e^x-1 \to e^0-1=0^+\), \(\sqrt{e^x-1}\to 0\).
  3. \(e^{-x}\to 0\), \(1+e^{-x}\to 1\), \(\frac{1}{1+e^{-x}}\to 1\).

C2 — Faire le lien entre asymptote et limite correspondante

Exercice 7

Déterminer toutes les asymptotes de \(f(x) = \frac{2x+1}{x-3}\).

Asymptote verticale : \(\lim_{x\to 3^+}\frac{2x+1}{x-3}=\frac{7}{0^+}=+\infty\). La droite \(x=3\) est AV.

Asymptote horizontale : \(\lim_{x\to\pm\infty}\frac{2x+1}{x-3}=\lim\frac{2+1/x}{1-3/x}=2\). La droite \(y=2\) est AH.

Exercice 8

Déterminer toutes les asymptotes de \(g(x) = \frac{x^2-4}{x+1}\).

AV : \(\lim_{x\to(-1)^+}=\frac{-3}{0^+}=-\infty\), \(\lim_{x\to(-1)^-}=\frac{-3}{0^-}=+\infty\). \(x=-1\) est AV.

Asymptote oblique : Division : \(x^2-4=(x+1)(x-1)-3\). Donc \(g(x)=x-1-\frac{3}{x+1}\).

\(g(x)-(x-1)=-\frac{3}{x+1}\to 0\). La droite \(y=x-1\) est asymptote oblique.

Exercice 9

Soit \(h(x)=\frac{3x^2+2x}{x^2+1}\). Montrer que la droite \(y=3\) est asymptote horizontale en \(\pm\infty\) et étudier la position de la courbe par rapport à cette asymptote.

\(\lim_{\pm\infty}h(x) = \frac{3x^2}{x^2}=3\). AH : \(y=3\).

Position : \(h(x)-3=\frac{3x^2+2x-3(x^2+1)}{x^2+1}=\frac{2x-3}{x^2+1}\).

\(h(x)-3>0 \Leftrightarrow 2x-3>0 \Leftrightarrow x>\frac{3}{2}\). La courbe est au-dessus de l'asymptote pour \(x>\frac{3}{2}\) et en dessous pour \(x<\frac{3}{2}\).

Exercice 10

Soit \(f(x) = x + 2 + \frac{1}{x-1}\).

  1. Donner le domaine de définition de \(f\).
  2. Déterminer les asymptotes de la courbe de \(f\).
  3. Étudier la position de la courbe par rapport à l'asymptote oblique.
  1. \(D_f = \mathbb{R}\setminus\{1\}\).
  2. AV : \(\lim_{x\to 1^+}f(x)=3+\frac{1}{0^+}=+\infty\). \(x=1\) est AV.
    Asymptote oblique : \(f(x)-(x+2)=\frac{1}{x-1}\to 0\). La droite \(y=x+2\) est AO.
  3. \(f(x)-(x+2)=\frac{1}{x-1}\). Ce terme est positif pour \(x>1\) et négatif pour \(x<1\). La courbe est au-dessus de l'AO pour \(x>1\) et en dessous pour \(x<1\).
Exercice 11

Soit \(f(x) = 2 - e^{-x}\).

  1. Déterminer les limites de \(f\) en \(+\infty\) et en \(-\infty\).
  2. En déduire les asymptotes.
  1. \(\lim_{+\infty}f = 2-0=2\). \(\lim_{-\infty}f = 2-e^{+\infty}=-\infty\).
  2. La droite \(y=2\) est asymptote horizontale en \(+\infty\). Pas d'asymptote en \(-\infty\).
Exercice 12

Problème de synthèse

Soit \(f(x) = \frac{x^2+x+1}{x+1}\).

  1. Domaine de définition.
  2. Déterminer toutes les asymptotes.
  3. Dresser le tableau de variations de \(f\).
  1. \(D_f = \mathbb{R}\setminus\{-1\}\).
  2. AV : \(\lim_{x\to(-1)^+}=\frac{1}{0^+}=+\infty\), \(\lim_{x\to(-1)^-}=\frac{1}{0^-}=-\infty\). \(x=-1\) est AV.
    AO : Division : \(x^2+x+1=(x+1)(x)+1\). \(f(x)=x+\frac{1}{x+1}\). La droite \(y=x\) est AO.
  3. \(f'(x) = 1-\frac{1}{(x+1)^2}=\frac{(x+1)^2-1}{(x+1)^2}=\frac{x^2+2x}{(x+1)^2}=\frac{x(x+2)}{(x+1)^2}\).
    \(f'(x)=0\) pour \(x=0\) ou \(x=-2\).
    Sur \(]-\infty;-2[\) : \(f'>0\), croissante. Sur \(]-2;-1[\) : \(f'<0\), décroissante. Sur \(]-1;0[\) : \(f'<0\), décroissante. Sur \(]0;+\infty[\) : \(f'>0\), croissante.
    Max local en \(x=-2\) : \(f(-2)=-2-1=-3\). Min local en \(x=0\) : \(f(0)=0+1=1\).