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Interrogation — Ch05 : Suites : limites et convergence

Terminale générale | Mathématiques | Durée : 30 min | /20

Dernière mise à jour : 21 juin 2026

Nom : _______________________ Prénom : _______________________ Date : __________

Exercice 1 — Limites de référence (3 pts)

Déterminer la limite de chacune des suites suivantes (justification courte attendue) :

  1. \(u_n = \dfrac{1}{n^2}\)
  2. \(v_n = \left(\dfrac{3}{4}\right)^n\)
  3. \(w_n = 2^n\)

Exercice 2 — Formes indéterminées : fractions rationnelles (4 pts)

Déterminer les limites suivantes en factorisant par le terme de plus haut degré :

  1. \(\displaystyle\lim_{n \to +\infty} \dfrac{5n^2 - 3n + 1}{2n^2 + n}\)
  2. \(\displaystyle\lim_{n \to +\infty} \dfrac{n^2 + 4}{3n + 2}\)

Exercice 3 — Théorème des gendarmes (3 pts)

On considère la suite définie pour \(n \ge 1\) par \(u_n = \dfrac{\cos(n)}{n}\).

  1. Justifier que pour tout \(n \ge 1\) : \(-\dfrac{1}{n} \le u_n \le \dfrac{1}{n}\).
  2. En déduire la limite de \((u_n)\).

Exercice 4 — Suite géométrique (4 pts)

Déterminer la limite de chacune des suites suivantes :

  1. \(u_n = 4 \times 0{,}8^n\)
  2. \(v_n = 3 + 2 \times 1{,}2^n\)
  3. \(w_n = \dfrac{2^n - 1}{2^n + 3}\) (on pourra diviser le numérateur et le dénominateur par \(2^n\))

Exercice 5 — Suite récurrente et convergence (6 pts)

Soit la suite \((u_n)\) définie par \(u_0 = 0\) et, pour tout \(n \in \mathbb{N}\), \(u_{n+1} = \dfrac{1}{3}u_n + 2\).

  1. Calculer \(u_1\) et \(u_2\).
  2. Montrer par récurrence que pour tout \(n \in \mathbb{N}\), \(u_n \le 3\).
  3. Montrer que la suite \((u_n)\) est croissante.
  4. En déduire que \((u_n)\) converge, puis déterminer sa limite.

Correction

Exercice 1.

a) \(n^2 \to +\infty\), donc \(\dfrac{1}{n^2} \to 0\). Limite : 0.

b) \(\dfrac{3}{4}\) vérifie \(-1 \lt \dfrac{3}{4} \lt 1\), donc \(\left(\dfrac{3}{4}\right)^n \to 0\). Limite : 0.

c) \(q = 2 \gt 1\), donc \(2^n \to +\infty\). Limite : \(+\infty\).

Exercice 2.

a) Forme indéterminée \(\frac{\infty}{\infty}\). On factorise par \(n^2\) :

\[\frac{5n^2 - 3n + 1}{2n^2 + n} = \frac{n^2\left(5 - \frac{3}{n} + \frac{1}{n^2}\right)}{n^2\left(2 + \frac{1}{n}\right)} = \frac{5 - \frac{3}{n} + \frac{1}{n^2}}{2 + \frac{1}{n}} \to \frac{5}{2}\]

Limite : \(\dfrac{5}{2}\).

b) Forme indéterminée \(\frac{\infty}{\infty}\). Le degré du numérateur (2) est supérieur à celui du dénominateur (1) :

\[\frac{n^2 + 4}{3n + 2} = \frac{n^2\left(1 + \frac{4}{n^2}\right)}{n\left(3 + \frac{2}{n}\right)} = \frac{n\left(1 + \frac{4}{n^2}\right)}{3 + \frac{2}{n}} \to +\infty\]

Limite : \(+\infty\).

Exercice 3.

a) Pour tout entier \(n \ge 1\), \(-1 \le \cos(n) \le 1\). En divisant par \(n \gt 0\) (ce qui conserve l'ordre) : \(-\dfrac{1}{n} \le \dfrac{\cos(n)}{n} \le \dfrac{1}{n}\).

b) \(\displaystyle\lim_{n\to+\infty} \dfrac{1}{n} = 0\) et \(\displaystyle\lim_{n\to+\infty}\left(-\dfrac{1}{n}\right) = 0\). Par le théorème des gendarmes, \((u_n)\) converge et \(\displaystyle\lim_{n\to+\infty} u_n = \mathbf{0}\).

Exercice 4.

a) \(-1 \lt 0{,}8 \lt 1\), donc \(0{,}8^n \to 0\), d'où \(u_n = 4 \times 0{,}8^n \to 0\). Limite : 0.

b) \(1{,}2 \gt 1\), donc \(1{,}2^n \to +\infty\), puis \(2 \times 1{,}2^n \to +\infty\) et \(v_n = 3 + 2\times 1{,}2^n \to +\infty\). Limite : \(+\infty\).

c) On divise numérateur et dénominateur par \(2^n\) :

\[w_n = \frac{2^n - 1}{2^n + 3} = \frac{1 - \frac{1}{2^n}}{1 + \frac{3}{2^n}}.\]

Comme \(\dfrac{1}{2^n} = \left(\dfrac{1}{2}\right)^n \to 0\), on obtient \(w_n \to \dfrac{1 - 0}{1 + 0} = 1\). Limite : 1.

Exercice 5.

a) \(u_1 = \dfrac{1}{3}\times 0 + 2 = 2\).   \(u_2 = \dfrac{1}{3}\times 2 + 2 = \dfrac{2}{3} + 2 = \dfrac{8}{3} \approx 2{,}67\).

b) Initialisation : \(u_0 = 0 \le 3\). ✓
Hérédité : supposons \(u_n \le 3\) pour un entier \(n\) fixé. Alors \(\dfrac{1}{3}u_n \le 1\), donc \(u_{n+1} = \dfrac{1}{3}u_n + 2 \le 1 + 2 = 3\). ✓
Par récurrence, \(u_n \le 3\) pour tout \(n \in \mathbb{N}\).

c) \(u_{n+1} - u_n = \dfrac{1}{3}u_n + 2 - u_n = 2 - \dfrac{2}{3}u_n = \dfrac{2}{3}(3 - u_n)\). Comme \(u_n \le 3\), on a \(3 - u_n \ge 0\), donc \(u_{n+1} - u_n \ge 0\). La suite \((u_n)\) est croissante.

d) La suite \((u_n)\) est croissante et majorée par 3 : d'après le théorème de convergence monotone, elle converge vers une limite \(\ell\). En passant à la limite dans \(u_{n+1} = \dfrac{1}{3}u_n + 2\) (la suite \((u_{n+1})\) a la même limite \(\ell\)) : \(\ell = \dfrac{1}{3}\ell + 2\), soit \(\dfrac{2}{3}\ell = 2\), donc \(\ell = \mathbf{3}\).