Exercices – Chapitre 5

Suites : limites et convergence | Terminale générale | Mathématiques

Dernière mise à jour : 15 juin 2026

Rappels : \(\lim\frac1n=0\), \(\lim\frac1{n^2}=0\), \(\lim\sqrt n=+\infty\). Suite géométrique de raison \(q\) : si \(-1\lt q\lt 1\), \(\lim q^n=0\) ; si \(q\gt 1\), \(\lim q^n=+\infty\).

Exercice 1 — Limites de référence

Détermine la limite de chaque suite :

1. \(u_n=3+\dfrac1n\). 2. \(v_n=n^2-5\). 3. \(w_n=\dfrac{4}{\sqrt n}\).

1. \(\lim u_n=3\) (car \(\frac1n\to0\)). 2. \(\lim v_n=+\infty\). 3. \(\lim w_n=0\).

Exercice 2 — Suites géométriques

Donne la limite de :

1. \(u_n=\left(\dfrac23\right)^n\). 2. \(v_n=2^n\). 3. \(w_n=5\times(0{,}9)^n\).

1. \(0<\frac23<1\Rightarrow\lim u_n=0\). 2. \(2>1\Rightarrow\lim v_n=+\infty\). 3. \(0{,}9\in]-1;1[\Rightarrow\lim w_n=0\).

Exercice 3 — Calcul de termes et limite

Soit \(u_n=\dfrac{2n+1}{n+3}\).

1. Calcule \(u_0\), \(u_1\), \(u_{10}\).

2. Détermine \(\lim_{n\to+\infty}u_n\).

1. \(u_0=\frac13\), \(u_1=\frac34\), \(u_{10}=\frac{21}{13}\approx1{,}62\).

2. On factorise par \(n\) : \(u_n=\dfrac{2+\frac1n}{1+\frac3n}\to\dfrac{2}{1}=\mathbf{2}\).

Exercice 4 — Théorème de comparaison

Soit \(u_n=n+(-1)^n\).

1. Montre que \(u_n\geqslant n-1\) pour tout \(n\).

2. En déduire \(\lim u_n\).

1. \((-1)^n\geqslant-1\) donc \(u_n=n+(-1)^n\geqslant n-1\).

2. Comme \(\lim(n-1)=+\infty\), par comparaison \(\lim u_n=+\infty\).

Exercice 5 — Suite arithmético-géométrique (type Bac)

Soit \(u_0=2\) et \(u_{n+1}=0{,}5\,u_n+3\). On pose \(v_n=u_n-6\).

1. Montre que \((v_n)\) est géométrique de raison \(0{,}5\).

2. Exprime \(u_n\) en fonction de \(n\), puis donne \(\lim u_n\).

1. \(v_{n+1}=u_{n+1}-6=0{,}5u_n+3-6=0{,}5(u_n-6)=0{,}5\,v_n\). Donc \((v_n)\) géométrique de raison \(0{,}5\), \(v_0=2-6=-4\).

2. \(v_n=-4\times0{,}5^n\) donc \(u_n=6-4\times0{,}5^n\). Comme \(0{,}5^n\to0\), \(\lim u_n=\mathbf{6}\).