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Chapitre 5 – Suites : limites et convergence

Exercices par capacités · Terminale générale

Capacités travaillées

C1 — Établir la convergence ou la divergence d'une suite

Exercice 1

Déterminer la limite des suites suivantes :

  1. \(u_n = \frac{5n^2-3n+1}{2n^2+7}\)
  2. \(v_n = \frac{n+1}{n^3}\)
  3. \(w_n = n^2 - 5n + 3\)
  1. On factorise par \(n^2\) : \(\frac{5-\frac{3}{n}+\frac{1}{n^2}}{2+\frac{7}{n^2}} \to \frac{5}{2}\).
  2. \(v_n = \frac{1}{n^2}+\frac{1}{n^3} \to 0\).
  3. \(w_n = n^2(1-\frac{5}{n}+\frac{3}{n^2}) \to +\infty\).
Exercice 2

Déterminer la limite de \(u_n = \frac{2^n + 3^n}{4^n}\).

\(u_n = \left(\frac{2}{4}\right)^n + \left(\frac{3}{4}\right)^n = \left(\frac{1}{2}\right)^n + \left(\frac{3}{4}\right)^n\).

Les deux termes tendent vers 0 (\(|q|<1\)), donc \(u_n \to 0\).

Exercice 3

Soit \(u_n = \frac{\cos(n\pi)}{n+1}\). Montrer que \((u_n)\) converge vers 0.

\(|\cos(n\pi)| \leqslant 1\), donc \(|u_n| \leqslant \frac{1}{n+1}\). Or \(\frac{1}{n+1} \to 0\). Par le théorème des gendarmes appliqué à \(|u_n|\), \(u_n \to 0\).

Exercice 4

Déterminer la limite de \(u_n = \sqrt{n^2+n} - n\).

FI \(+\infty - \infty\). On multiplie par l'expression conjuguée :

\(u_n = \frac{(\sqrt{n^2+n}-n)(\sqrt{n^2+n}+n)}{\sqrt{n^2+n}+n} = \frac{n^2+n-n^2}{\sqrt{n^2+n}+n} = \frac{n}{\sqrt{n^2+n}+n}\).

On divise par \(n\) : \(u_n = \frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{n}}+1} \to \frac{1}{1+1} = \frac{1}{2}\).

Exercice 5

Déterminer la limite de \(u_n = n \times \left(\frac{3}{4}\right)^n\).

\(u_n = \frac{n}{(4/3)^n}\). Par croissances comparées (\(\frac{4}{3}>1\)), \(\frac{n}{(4/3)^n} \to 0\).

Exercice 6

Soit \(u_n = \frac{n!}{2^n}\). Montrer que \(u_n \to +\infty\).

Indication : pour \(n \geqslant 3\), comparer \(u_n\) à une suite divergente.

Pour \(n \geqslant 4\) : \(\frac{u_{n+1}}{u_n} = \frac{(n+1)!}{2^{n+1}} \times \frac{2^n}{n!} = \frac{n+1}{2}\).

Pour \(n \geqslant 3\), \(\frac{n+1}{2} \geqslant 2 > 1\), donc \(u_{n+1} \geqslant 2u_n\). Ainsi \(u_n \geqslant u_3 \times 2^{n-3} = \frac{6}{8} \times 2^{n-3} = \frac{3}{4}\times 2^{n-3}\).

Comme \(2^{n-3} \to +\infty\), on a \(u_n \to +\infty\).

Exercice 7

Soit \((u_n)\) définie par \(u_0 = 0\) et \(u_{n+1} = \frac{u_n+3}{2}\).

  1. Montrer que \(u_n \leqslant 3\) pour tout \(n\) et que \((u_n)\) est croissante.
  2. En déduire la convergence et calculer la limite.
  1. Majorée : \(u_0=0\leqslant 3\). Si \(u_n\leqslant 3\), \(u_{n+1}=\frac{u_n+3}{2}\leqslant\frac{6}{2}=3\). ✓
    Croissante : \(u_{n+1}-u_n=\frac{u_n+3}{2}-u_n=\frac{3-u_n}{2}\geqslant 0\) car \(u_n\leqslant 3\). ✓
  2. Croissante et majorée : converge. \(\ell=\frac{\ell+3}{2}\), \(2\ell=\ell+3\), \(\ell=3\).

C2 — Raisonner par récurrence pour établir une propriété

Exercice 8

Montrer par récurrence que pour tout \(n \geqslant 0\) : \(3^n \geqslant 1 + 2n\).

Init (\(n=0\)) : \(3^0 = 1\) et \(1+0=1\). \(1\geqslant 1\). ✓

Héré : Supposons \(3^n \geqslant 1+2n\). Alors \(3^{n+1} = 3\times 3^n \geqslant 3(1+2n) = 3+6n\).

Or \(3+6n = (1+2(n+1)) + 4n \geqslant 1+2(n+1)\) car \(4n\geqslant 0\). ✓

Par récurrence, \(3^n \geqslant 1+2n\) pour tout \(n \geqslant 0\). □

Exercice 9

Montrer par récurrence que pour tout \(n \geqslant 1\) : \(\displaystyle\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k(k+1)} = \frac{n}{n+1}\).

Init (\(n=1\)) : \(\frac{1}{1\times 2}=\frac{1}{2}\) et \(\frac{1}{2}\). ✓

Héré : Supposons la formule vraie au rang \(n\). Alors :

\(\displaystyle\sum_{k=1}^{n+1}\frac{1}{k(k+1)} = \frac{n}{n+1}+\frac{1}{(n+1)(n+2)} = \frac{n(n+2)+1}{(n+1)(n+2)} = \frac{n^2+2n+1}{(n+1)(n+2)} = \frac{(n+1)^2}{(n+1)(n+2)} = \frac{n+1}{n+2}\). ✓

C'est la formule au rang \(n+1\). □

Exercice 10

Soit \((u_n)\) définie par \(u_0 = 2\) et \(u_{n+1} = 3u_n - 4\). Montrer par récurrence que \(u_n = 3^n + 1\) pour tout \(n \geqslant 0\), puis déterminer la limite.

Init : \(u_0 = 2\) et \(3^0+1=2\). ✓

Héré : Si \(u_n = 3^n+1\), alors \(u_{n+1} = 3(3^n+1)-4 = 3^{n+1}+3-4 = 3^{n+1}-1\).

Or on attendait \(3^{n+1}+1\). Vérifions le calcul : \(u_1 = 3\times 2-4=2\). \(3^1+1=4\neq 2\). La formule proposée est fausse.

Cherchons la bonne. \(v_n = u_n-2\) : \(v_{n+1}=u_{n+1}-2=3u_n-6=3(u_n-2)=3v_n\). Suite géométrique de raison 3. \(v_n=v_0\times 3^n=0\). Donc \(u_n=2\) pour tout \(n\).

\(\lim u_n = 2\).

Exercice 11

Soit \((u_n)\) définie par \(u_0 = 4\) et \(u_{n+1} = \frac{1}{2}u_n + 1\).

  1. Montrer par récurrence que \(u_n = 2 + 2\left(\frac{1}{2}\right)^n\) pour tout \(n\).
  2. En déduire la limite de \((u_n)\).
  1. Init : \(2+2\times 1=4=u_0\). ✓
    Héré : Si \(u_n=2+2\left(\frac{1}{2}\right)^n\), alors \(u_{n+1}=\frac{1}{2}\left(2+2\left(\frac{1}{2}\right)^n\right)+1=1+\left(\frac{1}{2}\right)^n+1=2+2\left(\frac{1}{2}\right)^{n+1}\). ✓
    Vérifions : \(\left(\frac{1}{2}\right)^n = 2\left(\frac{1}{2}\right)^{n+1}\). Oui : \(\frac{1}{2}\times 2\left(\frac{1}{2}\right)^n = \left(\frac{1}{2}\right)^n\). Mais au calcul : \(\frac{1}{2}\times 2\left(\frac{1}{2}\right)^n = \left(\frac{1}{2}\right)^n\). Donc \(u_{n+1}=1+\left(\frac{1}{2}\right)^n+1=2+\left(\frac{1}{2}\right)^n\). Il faut \(2+2\left(\frac{1}{2}\right)^{n+1}\). Or \(\left(\frac{1}{2}\right)^n = 2\left(\frac{1}{2}\right)^{n+1}\). Donc \(u_{n+1}=2+2\left(\frac{1}{2}\right)^{n+1}\). ✓
  2. \(\left(\frac{1}{2}\right)^n \to 0\), donc \(u_n \to 2\).
Exercice 12

Montrer par récurrence que pour tout \(n \geqslant 1\) : \(2^n > n\).

Init (\(n=1\)) : \(2^1=2>1\). ✓

Héré : Supposons \(2^n>n\). Alors \(2^{n+1}=2\times 2^n > 2n = n+n \geqslant n+1\) (car \(n\geqslant 1\)). ✓

Par récurrence, \(2^n>n\) pour tout \(n\geqslant 1\). □

C3 — Étudier des phénomènes d'évolution modélisables par une suite

Exercice 13

Un capital de 10 000 € est placé à un taux annuel de 3 %. On note \(C_n\) le capital au bout de \(n\) années (intérêts composés).

  1. Exprimer \(C_n\) en fonction de \(n\).
  2. Déterminer le nombre d'années nécessaires pour doubler le capital.
  1. \(C_n = 10\,000 \times 1{,}03^n\).
  2. \(C_n \geqslant 20\,000 \Leftrightarrow 1{,}03^n \geqslant 2 \Leftrightarrow n\ln(1{,}03)\geqslant\ln 2 \Leftrightarrow n \geqslant \frac{\ln 2}{\ln 1{,}03}\approx\frac{0{,}693}{0{,}0296}\approx 23{,}4\). Il faut 24 ans.
Exercice 14

Un médicament a une demi-vie de 6 heures. On prend 200 mg à \(t=0\). On note \(u_n\) la quantité de médicament (en mg) après \(n\) demi-vies.

  1. Exprimer \(u_n\) en fonction de \(n\).
  2. Au bout de combien de demi-vies reste-t-il moins de 1 mg ?
  3. Cela correspond à combien d'heures ?
  1. \(u_n = 200 \times \left(\frac{1}{2}\right)^n\).
  2. \(u_n < 1 \Leftrightarrow 200\times 2^{-n}<1 \Leftrightarrow 2^{-n}<\frac{1}{200} \Leftrightarrow n > \frac{\ln 200}{\ln 2}\approx 7{,}64\). Donc \(n \geqslant 8\) demi-vies.
  3. \(8 \times 6 = 48\) heures, soit 2 jours.
Exercice 15

On modélise une population de poissons par \(u_0 = 500\) et \(u_{n+1} = 0{,}8\,u_n + 100\).

  1. Calculer \(u_1, u_2, u_3\).
  2. On pose \(v_n = u_n - 500\). Montrer que \((v_n)\) est géométrique.
  3. Exprimer \(u_n\) en fonction de \(n\) et déterminer sa limite.
  4. Interpréter le résultat.
  1. \(u_1=500\), \(u_2=500\), \(u_3=500\). La suite semble constante.
  2. \(v_{n+1}=u_{n+1}-500=0{,}8u_n+100-500=0{,}8u_n-400=0{,}8(u_n-500)=0{,}8v_n\).
    \((v_n)\) est géométrique de raison \(0{,}8\).
  3. \(v_n = v_0 \times 0{,}8^n = 0 \times 0{,}8^n = 0\). Donc \(u_n = 500\) pour tout \(n\). \(\lim u_n = 500\).
  4. La population se stabilise à 500 poissons (point d'équilibre).
Exercice 16

Algorithme de recherche de seuil

Soit \(u_n = \frac{n^2}{2^n}\). Écrire un algorithme (en Python) qui détermine le plus petit \(n\) tel que \(u_n < 0{,}001\).

n = 0
u = 1  # u_0 = 0^2 / 2^0 = 0, mais prenons n=1
n = 1
u = 1/2
while u >= 0.001:
    n = n + 1
    u = n**2 / 2**n
print(n)

Le programme affiche \(n = 20\) (car \(\frac{400}{1\,048\,576} \approx 0{,}000\,38 < 0{,}001\)).