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Interrogation — Ch04 : Représentations paramétriques et équations cartésiennes

Terminale générale | Mathématiques | Durée : 30 min | /20

Dernière mise à jour : 21 juin 2026

Nom : _______________________ Prénom : _______________________ Date : __________

Exercice 1 — Lire une représentation paramétrique (3 pts)

On considère la droite \(d\) de l'espace de représentation paramétrique :

\[\begin{cases} x = 2 + 3t \\ y = -1 - t \\ z = 4 + 2t \end{cases} \quad t \in \mathbb{R}\]
  1. Donner les coordonnées d'un point \(A\) de \(d\).
  2. Donner les coordonnées d'un vecteur directeur \(\vec{u}\) de \(d\).
  3. Le point \(B(8;-3;8)\) appartient-il à \(d\) ? Justifier.

Exercice 2 — Représentation paramétrique d'une droite (4 pts)

On donne les points \(A(1;0;-2)\) et \(B(3;-4;2)\) de l'espace.

  1. Déterminer les coordonnées du vecteur \(\vec{AB}\).
  2. En déduire une représentation paramétrique de la droite \((AB)\).

Exercice 3 — Équation cartésienne d'un plan (4 pts)

Soit le plan \(\mathcal{P}\) passant par le point \(A(2;-1;3)\) et de vecteur normal \(\vec{n}(1;-2;2)\).

  1. Déterminer une équation cartésienne du plan \(\mathcal{P}\).
  2. Le point \(C(0;1;1)\) appartient-il à \(\mathcal{P}\) ? Justifier.

Exercice 4 — Position relative de deux plans (4 pts)

On considère les deux plans :

\(\mathcal{P}_1 : 2x - y + 3z - 5 = 0\)   et   \(\mathcal{P}_2 : -4x + 2y - 6z + 1 = 0\).

  1. Donner un vecteur normal de chacun des deux plans.
  2. Ces deux vecteurs sont-ils colinéaires ? Justifier.
  3. En déduire la position relative de \(\mathcal{P}_1\) et \(\mathcal{P}_2\) (sécants, strictement parallèles ou confondus).

Exercice 5 — Intersection d'une droite et d'un plan (5 pts)

On considère la droite \(d\) et le plan \(\mathcal{P}\) :

\[d : \begin{cases} x = 1 + t \\ y = 2 - t \\ z = 3 + 2t \end{cases} \quad t \in \mathbb{R} \qquad \mathcal{P} : x + 2y + z - 4 = 0\]
  1. Justifier que \(d\) et \(\mathcal{P}\) sont sécants (on pourra étudier le vecteur directeur de \(d\) et le vecteur normal de \(\mathcal{P}\)).
  2. Déterminer les coordonnées du point d'intersection de \(d\) et \(\mathcal{P}\).

Correction

Exercice 1.

a) Pour \(t = 0\) : \(A(2;-1;4)\).

b) Les coefficients de \(t\) donnent un vecteur directeur : \(\vec{u}(3;-1;2)\).

c) On résout \(8 = 2 + 3t\), soit \(t = 2\). On vérifie alors les deux autres équations : \(y = -1 - 2 = -3\) ✓ et \(z = 4 + 2\times 2 = 8\) ✓. La même valeur \(t = 2\) convient pour les trois coordonnées : \(B \in d\).

Exercice 2.

a) \(\vec{AB}(3-1;-4-0;2-(-2)) = \vec{AB}(2;-4;4)\). On peut simplifier (division par 2) : \(\vec{u}(1;-2;2)\).

b) Avec le point \(A(1;0;-2)\) et le vecteur directeur \(\vec{u}(1;-2;2)\) :

\[\begin{cases} x = 1 + t \\ y = -2t \\ z = -2 + 2t \end{cases} \quad t \in \mathbb{R}\]

(Toute représentation paramétrique équivalente est acceptée, par exemple en utilisant \(\vec{AB}(2;-4;4)\).)

Exercice 3.

a) Le plan a pour équation \(1(x-2) - 2(y+1) + 2(z-3) = 0\), soit \(x - 2 - 2y - 2 + 2z - 6 = 0\), donc :

\[\mathcal{P} : x - 2y + 2z - 10 = 0\]

b) On remplace les coordonnées de \(C(0;1;1)\) : \(0 - 2\times 1 + 2\times 1 - 10 = 0 - 2 + 2 - 10 = -10 \neq 0\). Donc \(C \notin \mathcal{P}\).

Exercice 4.

a) \(\vec{n_1}(2;-1;3)\) et \(\vec{n_2}(-4;2;-6)\).

b) On remarque que \(\vec{n_2} = -2\,\vec{n_1}\) (en effet \(-2\times 2 = -4\), \(-2\times(-1) = 2\), \(-2\times 3 = -6\)). Les deux vecteurs normaux sont donc colinéaires.

c) Les plans sont parallèles. On regarde s'ils sont confondus : \(-2\,\mathcal{P}_1\) donnerait \(-4x + 2y - 6z + 10 = 0\), alors que \(\mathcal{P}_2\) est \(-4x + 2y - 6z + 1 = 0\). Les termes constants diffèrent (\(10 \neq 1\)) : les plans sont strictement parallèles.

Exercice 5.

a) Vecteur directeur de \(d\) : \(\vec{u}(1;-1;2)\). Vecteur normal de \(\mathcal{P}\) : \(\vec{n}(1;2;1)\). On calcule \(\vec{u}\cdot\vec{n} = 1\times 1 + (-1)\times 2 + 2\times 1 = 1 - 2 + 2 = 1 \neq 0\). Le vecteur directeur de la droite n'est pas orthogonal au vecteur normal du plan : la droite n'est pas parallèle au plan, elle est donc sécante.

b) On substitue les expressions de \(x, y, z\) dans l'équation de \(\mathcal{P}\) :

\((1+t) + 2(2-t) + (3+2t) - 4 = 0\), soit \(1 + t + 4 - 2t + 3 + 2t - 4 = 0\), donc \(t + 4 = 0\), c'est-à-dire \(t = -4\).

On remplace dans \(d\) : \(x = 1 + (-4) = -3\), \(y = 2 - (-4) = 6\), \(z = 3 + 2\times(-4) = -5\).

Le point d'intersection est \(\left(-3;6;-5\right)\).

Vérification dans \(\mathcal{P}\) : \(-3 + 2\times 6 + (-5) - 4 = -3 + 12 - 5 - 4 = 0\) ✓.