Exercices – Chapitre 4

Représentations paramétriques et équations cartésiennes | Terminale générale | Mathématiques

Dernière mise à jour : 15 juin 2026

Rappels : droite passant par \(A(x_0,y_0,z_0)\) de vecteur directeur \(\vec u(a,b,c)\) : \(\begin{cases}x=x_0+ta\\ y=y_0+tb\\ z=z_0+tc\end{cases}\ (t\in\mathbb{R})\). Plan d'équation \(ax+by+cz+d=0\) : \(\vec n(a,b,c)\) en est un vecteur normal.

Exercice 1 — Représentation paramétrique d'une droite

Soit \(A(1,2,-1)\) et \(\vec{u}(2,1,3)\).

Écris une représentation paramétrique de la droite \(d\) passant par \(A\) et dirigée par \(\vec u\).

\(\begin{cases}x=1+2t\\ y=2+t\\ z=-1+3t\end{cases}\quad t\in\mathbb{R}.\)

Exercice 2 — Appartenance à une droite

Soit \(d:\begin{cases}x=1+2t\\ y=2+t\\ z=-1+3t\end{cases}\). Le point \(B(5,4,5)\) appartient-il à \(d\) ? Et \(C(3,3,1)\) ?

Pour \(B\) : \(1+2t=5\Rightarrow t=2\). Alors \(y=2+2=4\) ✓ et \(z=-1+6=5\) ✓ : \(B\in d\).

Pour \(C\) : \(1+2t=3\Rightarrow t=1\). Alors \(y=3\) ✓ mais \(z=-1+3=2\neq1\) : \(C\notin d\).

Exercice 3 — Équation cartésienne d'un plan

Détermine une équation cartésienne du plan \(\mathcal P\) passant par \(A(1,1,0)\) et de vecteur normal \(\vec n(1,-2,2)\).

\(\mathcal P:\ x-2y+2z+d=0\). \(A\in\mathcal P\) : \(1-2+0+d=0\Rightarrow d=1\). Donc \(\mathcal P:\ x-2y+2z+1=0\).

Exercice 4 — Lire une équation de plan

Soit \(\mathcal P:\ 2x-y+3z-5=0\).

1. Donne un vecteur normal à \(\mathcal P\).

2. Le point \(A(1,0,1)\) appartient-il à \(\mathcal P\) ?

1. \(\vec n(2,-1,3)\).

2. \(2-0+3-5=0\) ✓ : \(A\in\mathcal P\).

Exercice 5 — Intersection droite / plan

Soit \(d:\begin{cases}x=1+t\\ y=t\\ z=t\end{cases}\) et \(\mathcal P:\ x+y+z-3=0\). Détermine leur point d'intersection.

On remplace : \((1+t)+t+t-3=0\Rightarrow 3t-2=0\Rightarrow t=\tfrac23\).

Point : \(\left(1+\tfrac23,\ \tfrac23,\ \tfrac23\right)=\left(\tfrac53,\tfrac23,\tfrac23\right)\).

Exercice 6 — Positions relatives de deux plans (type Bac)

\(\mathcal P_1:\ x+2y-z+1=0\) et \(\mathcal P_2:\ 2x+4y-2z+5=0\).

Étudie leur position relative.

Normales : \(\vec{n_1}(1,2,-1)\), \(\vec{n_2}(2,4,-2)=2\,\vec{n_1}\) : colinéaires → plans parallèles. Comme \(\mathcal P_2\) n'est pas un multiple de \(\mathcal P_1\) (\(2\times1=2\neq5\)), ils sont strictement parallèles (pas d'intersection).