Représentations paramétriques et équations cartésiennes | Terminale générale | Mathématiques
Dernière mise à jour : 15 juin 2026
Soit \(A(2,-1,3)\) et \(\vec{u}(1,2,-1)\).
1. Donne une représentation paramétrique de la droite \(d=(A,\vec u)\). (3 pts)
2. Le point \(B(4,3,1)\) appartient-il à \(d\) ? (3 pts)
1. \(\begin{cases}x=2+t\\ y=-1+2t\\ z=3-t\end{cases}\)
2. \(2+t=4\Rightarrow t=2\) : \(y=-1+4=3\) ✓, \(z=3-2=1\) ✓ → \(B\in d\).
1. Donne une équation cartésienne du plan \(\mathcal P\) passant par \(A(0,1,2)\) et de normale \(\vec n(3,1,-1)\). (3 pts)
2. Le point \(C(1,0,1)\) appartient-il à \(\mathcal P\) ? (3 pts)
1. \(3x+y-z+d=0\) ; \(A\) : \(0+1-2+d=0\Rightarrow d=1\). \(\mathcal P:3x+y-z+1=0\).
2. \(3+0-1+1=3\neq0\) → \(C\notin\mathcal P\).
\(d:\begin{cases}x=1+2t\\ y=-t\\ z=2+t\end{cases}\) et \(\mathcal P:\ x+y+z-6=0\).
Détermine le point d'intersection de \(d\) et \(\mathcal P\).
\((1+2t)+(-t)+(2+t)-6=0\Rightarrow 2t-3=0\Rightarrow t=\tfrac32\).
Point : \(\left(1+3,\ -\tfrac32,\ 2+\tfrac32\right)=\left(4,\ -\tfrac32,\ \tfrac72\right)\).
\(\mathcal P_1:\ x-y+2z-3=0\) et \(\mathcal P_2:\ 3x-3y+6z-9=0\). Étudie leur position relative.
\(\vec{n_2}=(3,-3,6)=3\,\vec{n_1}\) et \(\mathcal P_2=3\times\mathcal P_1\) : les deux équations décrivent le même plan (plans confondus).