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Interrogation — Ch03 : Orthogonalité et distances dans l'espace

Terminale générale | Mathématiques | Durée : 30 min | /20

Dernière mise à jour : 21 juin 2026

Nom : _____ Prénom : _____ Date : _____

L'espace est rapporté à un repère orthonormé \((O;\vec{i},\vec{j},\vec{k})\).

Exercice 1 — Produit scalaire et orthogonalité (3 pts)

On donne \(\vec{u}(2;-3;1)\) et \(\vec{v}(4;1;-5)\).

  1. Calculer le produit scalaire \(\vec{u}\cdot\vec{v}\). (1,5 pt)
  2. Les vecteurs \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) sont-ils orthogonaux ? Justifier. (1,5 pt)

Exercice 2 — Normes et distance (4 pts)

On donne les points \(A(1;-1;2)\) et \(B(3;2;-2)\).

  1. Déterminer les composantes de \(\vec{AB}\). (1 pt)
  2. Calculer la longueur \(AB\). (2 pts)
  3. Calculer la norme du vecteur \(\vec{w}(2;2;1)\). (1 pt)

Exercice 3 — Angle entre deux vecteurs (4 pts)

On donne \(\vec{u}(1;1;0)\) et \(\vec{v}(1;0;1)\).

  1. Calculer \(\vec{u}\cdot\vec{v}\), \(\|\vec{u}\|\) et \(\|\vec{v}\|\). (2 pts)
  2. En déduire le cosinus de l'angle \(\theta\) entre \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\), puis la mesure de \(\theta\) en degrés. (2 pts)

Exercice 4 — Vecteur normal et distance à un plan (5 pts)

On considère le plan \(\mathcal{P}\) d'équation \(x - 2y + 2z + 1 = 0\) et le point \(M(3;-1;2)\).

  1. Donner un vecteur normal \(\vec{n}\) au plan \(\mathcal{P}\). (1 pt)
  2. Le point \(M\) appartient-il au plan \(\mathcal{P}\) ? Justifier. (1,5 pt)
  3. Calculer la distance du point \(M\) au plan \(\mathcal{P}\). (2,5 pts)

Exercice 5 — Étude dans un cube (4 pts)

Soit un cube \(ABCDEFGH\) de côté 1, muni du repère orthonormé \((A;\vec{AB},\vec{AD},\vec{AE})\). On rappelle \(A(0;0;0)\), \(B(1;0;0)\), \(C(1;1;0)\), \(D(0;1;0)\), \(E(0;0;1)\), \(G(1;1;1)\).

  1. Donner les composantes de \(\vec{AG}\) et de \(\vec{BD}\). (1,5 pt)
  2. Montrer que les droites \((AG)\) et \((BD)\) sont orthogonales. (2,5 pts)

Correction

Exercice 1 (3 pts)

a) \(\vec{u}\cdot\vec{v} = 2\times 4 + (-3)\times 1 + 1\times(-5) = 8 - 3 - 5 = 0\). (1,5 pt)

b) Le produit scalaire est nul, donc \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) sont orthogonaux (\(\vec{u}\perp\vec{v}\)). (1,5 pt)

Exercice 2 (4 pts)

a) \(\vec{AB}(3-1;\,2-(-1);\,-2-2) = (2;3;-4)\). (1 pt)

b) \(AB = \|\vec{AB}\| = \sqrt{2^2 + 3^2 + (-4)^2} = \sqrt{4 + 9 + 16} = \sqrt{29}\). (2 pts)

c) \(\|\vec{w}\| = \sqrt{2^2 + 2^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 4 + 1} = \sqrt{9} = 3\). (1 pt)

Exercice 3 (4 pts)

a) \(\vec{u}\cdot\vec{v} = 1\times 1 + 1\times 0 + 0\times 1 = 1\). \(\|\vec{u}\| = \sqrt{1+1+0} = \sqrt{2}\) ; \(\|\vec{v}\| = \sqrt{1+0+1} = \sqrt{2}\). (2 pts)

b) \(\cos\theta = \dfrac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{\|\vec{u}\|\,\|\vec{v}\|} = \dfrac{1}{\sqrt{2}\times\sqrt{2}} = \dfrac{1}{2}\). Donc \(\theta = \arccos\!\left(\tfrac{1}{2}\right) = 60°\). (2 pts)

Exercice 4 (5 pts)

a) Les coefficients de \(x\), \(y\), \(z\) donnent un vecteur normal : \(\vec{n}(1;-2;2)\). (1 pt)

b) On remplace les coordonnées de \(M\) dans le membre de gauche : \(3 - 2\times(-1) + 2\times 2 + 1 = 3 + 2 + 4 + 1 = 10 \neq 0\). Donc \(M \notin \mathcal{P}\). (1,5 pt)

c) \(\displaystyle d(M,\mathcal{P}) = \frac{|1\times 3 - 2\times(-1) + 2\times 2 + 1|}{\sqrt{1^2 + (-2)^2 + 2^2}} = \frac{|3 + 2 + 4 + 1|}{\sqrt{1+4+4}} = \frac{10}{\sqrt{9}} = \frac{10}{3}\).

La distance vaut \(\dfrac{10}{3} \approx 3{,}33\). (2,5 pts)

Exercice 5 (4 pts)

a) \(\vec{AG} = G - A = (1;1;1)\). \(\vec{BD} = D - B = (0-1;\,1-0;\,0-0) = (-1;1;0)\). (1,5 pt)

b) \(\vec{AG}\cdot\vec{BD} = 1\times(-1) + 1\times 1 + 1\times 0 = -1 + 1 + 0 = 0\). Le produit scalaire des vecteurs directeurs est nul, donc les droites \((AG)\) et \((BD)\) sont orthogonales. (2,5 pts)

Total : 3 + 4 + 4 + 5 + 4 = 20 points.