Exercices – Chapitre 3

Orthogonalité et distances dans l'espace | Terminale générale | Mathématiques

Dernière mise à jour : 15 juin 2026

Rappels (repère orthonormé) : \(\vec{u}\cdot\vec{v}=xx'+yy'+zz'\) ; \(\|\vec{u}\|=\sqrt{x^2+y^2+z^2}\) ; \(\vec u\perp\vec v\iff\vec u\cdot\vec v=0\) ; distance \(AB=\|\vec{AB}\|\).

Exercice 1 — Produit scalaire

Calcule \(\vec{u}\cdot\vec{v}\) pour :

1. \(\vec{u}(1,2,-1)\), \(\vec{v}(3,-1,2)\).

2. \(\vec{u}(2,0,-3)\), \(\vec{v}(1,5,1)\).

1. \(1\times3+2\times(-1)+(-1)\times2=3-2-2=\mathbf{-1}\).

2. \(2\times1+0\times5+(-3)\times1=2+0-3=\mathbf{-1}\).

Exercice 2 — Normes et distances

1. Calcule \(\|\vec{u}\|\) pour \(\vec{u}(2,-1,2)\).

2. On donne \(A(1,0,2)\) et \(B(3,-1,4)\). Calcule la distance \(AB\).

1. \(\|\vec u\|=\sqrt{4+1+4}=\sqrt9=\mathbf{3}\).

2. \(\vec{AB}=(2,-1,2)\), \(AB=\sqrt{4+1+4}=\mathbf{3}\).

Exercice 3 — Orthogonalité

Les vecteurs sont-ils orthogonaux ?

1. \(\vec{u}(1,1,2)\) et \(\vec{v}(2,-4,1)\).

2. \(\vec{u}(3,-1,2)\) et \(\vec{v}(1,1,1)\).

1. \(\vec u\cdot\vec v=2-4+2=0\) → orthogonaux.

2. \(3-1+2=4\neq0\) → non orthogonaux.

Exercice 4 — Nature d'un triangle

\(A(1,1,0)\), \(B(3,1,2)\), \(C(1,3,2)\).

1. Calcule \(AB\), \(AC\), \(BC\).

2. Le triangle \(ABC\) est-il isocèle ? rectangle ?

1. \(\vec{AB}=(2,0,2)\Rightarrow AB=\sqrt8\) ; \(\vec{AC}=(0,2,2)\Rightarrow AC=\sqrt8\) ; \(\vec{BC}=(-2,2,0)\Rightarrow BC=\sqrt8\).

2. \(AB=AC=BC=\sqrt8\) : le triangle est équilatéral (donc isocèle). \(\vec{AB}\cdot\vec{AC}=0+0+4=4\neq0\) : non rectangle en \(A\).

Exercice 5 — Vecteur normal à un plan

Un plan \(\mathcal{P}\) est dirigé par \(\vec{u}(1,0,1)\) et \(\vec{v}(0,1,1)\). Détermine un vecteur \(\vec{n}(a,b,c)\) normal à \(\mathcal{P}\).

\(\vec n\perp\vec u\) et \(\vec n\perp\vec v\) : \(\begin{cases}a+c=0\\ b+c=0\end{cases}\). En posant \(c=-1\) : \(a=1,\ b=1\). Un vecteur normal est \(\vec{n}(1,1,-1)\). (Vérif : \(1+0-1=0\) et \(0+1-1=0\).)

Exercice 6 — Angle (type Bac)

\(\vec{u}(1,2,2)\) et \(\vec{v}(2,-1,2)\). On rappelle \(\vec u\cdot\vec v=\|\vec u\|\,\|\vec v\|\cos\theta\).

1. Calcule \(\vec u\cdot\vec v\), \(\|\vec u\|\) et \(\|\vec v\|\).

2. En déduire \(\cos\theta\) puis l'angle \(\theta\) arrondi au degré.

1. \(\vec u\cdot\vec v=2-2+4=4\) ; \(\|\vec u\|=\sqrt{1+4+4}=3\) ; \(\|\vec v\|=\sqrt{4+1+4}=3\).

2. \(\cos\theta=\dfrac{4}{3\times3}=\dfrac{4}{9}\approx0{,}444\Rightarrow\theta\approx\mathbf{64^\circ}\).