Orthogonalité et distances dans l'espace | Terminale générale | Mathématiques
Dernière mise à jour : 15 juin 2026
\(\vec{u}(2,-2,1)\) et \(\vec{v}(1,2,2)\).
1. Calcule \(\vec u\cdot\vec v\). (2 pts)
2. Calcule \(\|\vec u\|\) et \(\|\vec v\|\). (2 pts)
3. Les vecteurs sont-ils orthogonaux ? (2 pts)
1. \(2-4+2=0\). — 2. \(\|\vec u\|=\sqrt{4+4+1}=3\) ; \(\|\vec v\|=\sqrt{1+4+4}=3\). — 3. Produit scalaire nul → orthogonaux.
\(A(2,1,0)\), \(B(4,1,2)\), \(C(2,3,0)\).
1. Calcule \(\vec{AB}\) et \(\vec{AC}\). (2 pts)
2. Montre que le triangle est rectangle en \(A\). (2 pts)
3. Calcule l'aire du triangle \(ABC\). (2 pts)
1. \(\vec{AB}=(2,0,2)\), \(\vec{AC}=(0,2,0)\).
2. \(\vec{AB}\cdot\vec{AC}=0+0+0=0\) → rectangle en \(A\).
3. \(AB=\sqrt8=2\sqrt2\), \(AC=2\). Aire \(=\dfrac{AB\times AC}{2}=\dfrac{2\sqrt2\times2}{2}=2\sqrt2\approx2{,}83\).
Un plan est dirigé par \(\vec{u}(2,1,0)\) et \(\vec{v}(0,1,2)\). Détermine un vecteur normal \(\vec n\).
\(\begin{cases}2a+b=0\\ b+2c=0\end{cases}\). Posons \(c=1\) : \(b=-2\), \(a=1\). \(\vec n(1,-2,1)\). (Vérif : \(2-2+0=0\) et \(-2+2=0\).)
Dans le cube \(ABCDEFGH\) de côté 1 (repère orthonormé \((A;\vec{AB},\vec{AD},\vec{AE})\)), montre que \(\vec{AG}\) et \(\vec{BD}\) sont orthogonaux.
\(\vec{AG}=(1,1,1)\) ; \(B(1,0,0),D(0,1,0)\Rightarrow\vec{BD}=(-1,1,0)\). \(\vec{AG}\cdot\vec{BD}=-1+1+0=0\) → orthogonaux.