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Interrogation — Ch02 : Vecteurs, droites et plans de l'espace

Terminale générale | Mathématiques | Durée : 30 min | /20

Dernière mise à jour : 21 juin 2026

Nom : _____ Prénom : _____ Date : _____

Dans tous les exercices, l'espace est rapporté à un repère \((A;\vec{AB},\vec{AD},\vec{AE})\) lorsqu'un cube ou un pavé est utilisé.

Exercice 1 — Relation de Chasles dans un cube (3 pts)

On considère un cube \(ABCDEFGH\) (\(ABCD\) face inférieure, \(EFGH\) face supérieure, \(A\) sous \(E\), \(B\) sous \(F\), \(C\) sous \(G\), \(D\) sous \(H\)). Simplifier chaque somme vectorielle en un seul vecteur \(\vec{XY}\).

  1. \(\vec{AB} + \vec{BF}\) (1 pt)
  2. \(\vec{AD} + \vec{DH} + \vec{HG}\) (1 pt)
  3. \(\vec{AB} + \vec{AD} + \vec{AE}\) (1 pt)

Exercice 2 — Colinéarité et alignement (4 pts)

On donne \(A(1;2;-1)\), \(B(3;5;1)\) et \(C(7;11;5)\).

  1. Déterminer les composantes des vecteurs \(\vec{AB}\) et \(\vec{AC}\). (2 pts)
  2. Les points \(A\), \(B\), \(C\) sont-ils alignés ? Justifier. (2 pts)

Exercice 3 — Coplanarité (4 pts)

On considère les vecteurs \(\vec{u}(1;0;2)\), \(\vec{v}(0;1;1)\) et \(\vec{w}(2;3;7)\).

Le vecteur \(\vec{w}\) est-il une combinaison linéaire de \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) ? Les trois vecteurs sont-ils coplanaires ? Justifier par le calcul.

Exercice 4 — Droites parallèles (4 pts)

La droite \(d_1\) passe par \(A(0;1;2)\) et a pour vecteur directeur \(\vec{u}(1;-2;3)\). La droite \(d_2\) passe par \(B(2;0;1)\) et a pour vecteur directeur \(\vec{v}(-2;4;-6)\).

  1. Montrer que \(d_1\) et \(d_2\) sont parallèles. (2 pts)
  2. Les droites sont-elles confondues ou strictement parallèles ? Justifier. (2 pts)

Exercice 5 — Appartenance à un plan (5 pts)

Le plan \(\mathcal{P}\) passe par \(A(1;0;1)\) et est dirigé par les vecteurs \(\vec{u}(1;1;0)\) et \(\vec{v}(0;1;1)\).

  1. Justifier que \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) dirigent bien un plan. (1 pt)
  2. Le point \(M(2;3;2)\) appartient-il à \(\mathcal{P}\) ? Justifier en cherchant \(\alpha\) et \(\beta\). (2 pts)
  3. Le point \(N(3;2;0)\) appartient-il à \(\mathcal{P}\) ? Justifier. (2 pts)

Correction

Exercice 1 (3 pts)

a) \(\vec{AB} + \vec{BF} = \vec{AF}\) (relation de Chasles). (1 pt)

b) \(\vec{AD} + \vec{DH} + \vec{HG} = \vec{AH} + \vec{HG} = \vec{AG}\). (1 pt)

c) \(\vec{AB} + \vec{AD} = \vec{AC}\) (diagonale de la face inférieure), puis comme \(\vec{AE} = \vec{CG}\), on a \(\vec{AC} + \vec{AE} = \vec{AC} + \vec{CG} = \vec{AG}\). Donc \(\vec{AB} + \vec{AD} + \vec{AE} = \vec{AG}\). (1 pt)

Exercice 2 (4 pts)

a) \(\vec{AB}(3-1;\,5-2;\,1-(-1)) = (2;3;2)\) ; \(\vec{AC}(7-1;\,11-2;\,5-(-1)) = (6;9;6)\). (2 pts)

b) On cherche \(\lambda\) tel que \(\vec{AC} = \lambda\,\vec{AB}\) : \(6 = \lambda \times 2\), \(9 = \lambda \times 3\), \(6 = \lambda \times 2\), soit \(\lambda = 3\) dans les trois cas. Les vecteurs \(\vec{AB}\) et \(\vec{AC}\) sont colinéaires, donc les points \(A\), \(B\), \(C\) sont alignés. (2 pts)

Exercice 3 (4 pts)

On cherche \(\alpha,\beta\) tels que \(\vec{w} = \alpha\vec{u} + \beta\vec{v}\), soit : \[\begin{cases} \alpha = 2 \\ \beta = 3 \\ 2\alpha + \beta = 7 \end{cases}\] Des deux premières équations : \(\alpha = 2\) et \(\beta = 3\). Vérification dans la troisième : \(2 \times 2 + 3 = 4 + 3 = 7\). ✓

Donc \(\vec{w} = 2\vec{u} + 3\vec{v}\) : \(\vec{w}\) est combinaison linéaire de \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\), les trois vecteurs sont coplanaires. (4 pts)

Exercice 4 (4 pts)

a) On a \(\vec{v}(-2;4;-6) = -2 \times (1;-2;3) = -2\,\vec{u}\). Les vecteurs directeurs sont colinéaires, donc \(d_1\) et \(d_2\) sont parallèles. (2 pts)

b) On teste si \(B \in d_1\) : \(\vec{AB} = (2-0;\,0-1;\,1-2) = (2;-1;-1)\). On cherche \(t\) tel que \(\vec{AB} = t\,\vec{u}\) : \(2 = t \times 1 \Rightarrow t = 2\) ; mais \(-1 = t \times (-2) \Rightarrow t = \tfrac{1}{2}\). Les valeurs de \(t\) diffèrent, donc \(B \notin d_1\). Les droites sont strictement parallèles. (2 pts)

Exercice 5 (5 pts)

a) \(\vec{u}(1;1;0)\) et \(\vec{v}(0;1;1)\) ne sont pas colinéaires (il n'existe pas de réel \(\lambda\) tel que \(\vec{v} = \lambda\vec{u}\), car la première composante de \(\vec{v}\) est nulle alors que celle de \(\vec{u}\) ne l'est pas). Deux vecteurs non colinéaires dirigent bien un plan. (1 pt)

b) \(\vec{AM} = (2-1;\,3-0;\,2-1) = (1;3;1)\). On cherche \(\alpha,\beta\) tels que \(\vec{AM} = \alpha\vec{u} + \beta\vec{v}\) : \[\begin{cases} \alpha = 1 \\ \alpha + \beta = 3 \\ \beta = 1 \end{cases}\] De la 1re : \(\alpha = 1\) ; de la 3e : \(\beta = 1\). Vérification dans la 2e : \(1 + 1 = 2 \neq 3\). Le système est incompatible, donc \(M \notin \mathcal{P}\). (2 pts)

c) \(\vec{AN} = (3-1;\,2-0;\,0-1) = (2;2;-1)\). On cherche \(\alpha,\beta\) : \[\begin{cases} \alpha = 2 \\ \alpha + \beta = 2 \\ \beta = -1 \end{cases}\] De la 1re : \(\alpha = 2\) ; de la 3e : \(\beta = -1\). Vérification dans la 2e : \(2 + (-1) = 1 \neq 2\). Le système est incompatible, donc \(N \notin \mathcal{P}\). (2 pts)

Total : 3 + 4 + 4 + 4 + 5 = 20 points.