Exercices – Chapitre 2

Vecteurs, droites et plans de l'espace | Terminale générale | Mathématiques

Dernière mise à jour : 15 juin 2026

Rappels : deux vecteurs sont colinéaires si leurs coordonnées sont proportionnelles. Trois vecteurs sont coplanaires si l'un est combinaison linéaire des deux autres. Dans un repère, \(\vec{AB}\) a pour coordonnées \((x_B-x_A,\ y_B-y_A,\ z_B-z_A)\).

Exercice 1 — Coordonnées dans un cube

On considère le cube \(ABCDEFGH\) et le repère \((A;\vec{AB},\vec{AD},\vec{AE})\). Ainsi \(A(0,0,0)\), \(B(1,0,0)\), \(D(0,1,0)\), \(E(0,0,1)\), \(G(1,1,1)\).

1. Donne les coordonnées de \(C\), \(F\) et \(H\).

2. Détermine les coordonnées des vecteurs \(\vec{AG}\) et \(\vec{BH}\).

1. \(C(1,1,0)\), \(F(1,0,1)\), \(H(0,1,1)\).

2. \(\vec{AG}=(1,1,1)\) ; \(\vec{BH}=(0-1,\,1-0,\,1-0)=(-1,1,1)\).

Exercice 2 — Colinéarité

Les vecteurs suivants sont-ils colinéaires ?

1. \(\vec{u}(2,-1,3)\) et \(\vec{v}(-4,2,-6)\).

2. \(\vec{u}(1,2,3)\) et \(\vec{w}(2,4,5)\).

1. \(\vec{v}=-2\,\vec{u}\) : colinéaires.

2. \(\frac{2}{1}=2,\ \frac{4}{2}=2,\ \frac{5}{3}\neq 2\) : coordonnées non proportionnelles → non colinéaires.

Exercice 3 — Coplanarité

Soit \(\vec{u}(1,0,1)\), \(\vec{v}(0,1,1)\) et \(\vec{w}(1,1,2)\).

1. Cherche des réels \(a,b\) tels que \(\vec{w}=a\,\vec{u}+b\,\vec{v}\).

2. Conclus sur la coplanarité.

1. \(a\vec u+b\vec v=(a,\ b,\ a+b)\). On veut \((1,1,2)\) : \(a=1\), \(b=1\), \(a+b=2\) ✓.

2. \(\vec{w}=\vec{u}+\vec{v}\) : les trois vecteurs sont coplanaires.

Exercice 4 — Points alignés

On donne \(A(1,2,-1)\), \(B(3,1,2)\), \(C(7,-1,8)\).

Les points \(A\), \(B\), \(C\) sont-ils alignés ?

\(\vec{AB}=(2,-1,3)\), \(\vec{AC}=(6,-3,9)\). On a \(\vec{AC}=3\,\vec{AB}\) : les vecteurs sont colinéaires donc \(A,B,C\) sont alignés.

Exercice 5 — Parallélogramme dans l'espace

\(A(0,1,2)\), \(B(2,0,1)\), \(C(3,2,0)\). Détermine les coordonnées de \(D\) pour que \(ABCD\) soit un parallélogramme.

\(ABCD\) parallélogramme \(\iff \vec{AB}=\vec{DC}\). \(\vec{AB}=(2,-1,-1)\). Avec \(\vec{DC}=(3-x_D,\,2-y_D,\,-z_D)\) : \(3-x_D=2,\ 2-y_D=-1,\ -z_D=-1\) donc \(D(1,3,1)\).

Exercice 6 — Décomposition dans une base (type Bac)

Dans le repère \((A;\vec{AB},\vec{AD},\vec{AE})\) du cube, soit \(I\) le milieu de \([EF]\) et \(J\) le centre de la face \(BCGF\).

1. Donne les coordonnées de \(I\) et \(J\).

2. Détermine les coordonnées de \(\vec{IJ}\).

1. \(E(0,0,1)\), \(F(1,0,1)\) → \(I(\tfrac12,0,1)\). Face \(BCGF\) : \(B(1,0,0),C(1,1,0),G(1,1,1),F(1,0,1)\), centre \(J(1,\tfrac12,\tfrac12)\).

2. \(\vec{IJ}=(1-\tfrac12,\ \tfrac12-0,\ \tfrac12-1)=(\tfrac12,\ \tfrac12,\ -\tfrac12)\).