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Chapitre 2 – Vecteurs, droites et plans de l'espace

Exercices par capacités · Terminale générale

Capacités travaillées

C1 — Représenter des combinaisons linéaires de vecteurs donnés

Exercice 1

Dans un parallélépipède rectangle \(ABCDEFGH\), on pose \(\vec{u} = \vec{AB}\), \(\vec{v} = \vec{AD}\), \(\vec{w} = \vec{AE}\). Exprimer les vecteurs suivants comme combinaisons linéaires de \(\vec{u}\), \(\vec{v}\), \(\vec{w}\) :

  1. \(\vec{AC}\)
  2. \(\vec{AG}\)
  3. \(\vec{FD}\)
  4. \(\vec{HB}\)
  1. \(\vec{AC} = \vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AB} + \vec{AD} = \vec{u} + \vec{v}\).
  2. \(\vec{AG} = \vec{AB} + \vec{AD} + \vec{AE} = \vec{u} + \vec{v} + \vec{w}\).
  3. \(\vec{FD} = \vec{FA} + \vec{AD} = -\vec{AF} + \vec{AD} = -(\vec{u} + \vec{w}) + \vec{v} = -\vec{u} + \vec{v} - \vec{w}\).
  4. \(\vec{HB} = \vec{HA} + \vec{AB} = -\vec{AH} + \vec{AB} = -(\vec{v} + \vec{w}) + \vec{u} = \vec{u} - \vec{v} - \vec{w}\).
Exercice 2

Soient \(\vec{u}(2;-1;3)\) et \(\vec{v}(1;4;-2)\). Calculer les vecteurs :

  1. \(3\vec{u} - 2\vec{v}\)
  2. \(\frac{1}{2}\vec{u} + \vec{v}\)
  3. \(-\vec{u} + 4\vec{v}\)
  1. \(3\vec{u} - 2\vec{v} = (6;-3;9) - (2;8;-4) = (4;-11;13)\).
  2. \(\frac{1}{2}\vec{u} + \vec{v} = (1;-\frac{1}{2};\frac{3}{2}) + (1;4;-2) = (2;\frac{7}{2};-\frac{1}{2})\).
  3. \(-\vec{u} + 4\vec{v} = (-2;1;-3) + (4;16;-8) = (2;17;-11)\).
Exercice 3

On considère un tétraèdre \(OABC\). Soit \(M\) le point défini par \(\vec{OM} = \frac{1}{2}\vec{OA} + \frac{1}{3}\vec{OB}\).

  1. Placer \(M\) sur la figure en utilisant la construction par étapes.
  2. Le point \(M\) appartient-il au plan \((OAB)\) ? Justifier.
  1. On place d'abord \(I\) milieu de \([OA]\) (\(\vec{OI} = \frac{1}{2}\vec{OA}\)), puis \(J\) tel que \(\vec{OJ} = \frac{1}{3}\vec{OB}\) (tiers de \([OB]\)). Enfin \(M\) est tel que \(\vec{IM} = \vec{OJ}\) (parallélogramme).
  2. Oui. \(\vec{OM} = \frac{1}{2}\vec{OA} + \frac{1}{3}\vec{OB}\) est une combinaison linéaire de \(\vec{OA}\) et \(\vec{OB}\), donc \(M\) appartient au plan \((OAB)\).
Exercice 4

Soient \(A(1;0;0)\), \(B(0;2;0)\) et \(C(0;0;3)\). Calculer les coordonnées du point \(G\) tel que \(\vec{OG} = \frac{1}{3}(\vec{OA} + \vec{OB} + \vec{OC})\).

\(\vec{OA} + \vec{OB} + \vec{OC} = (1;0;0) + (0;2;0) + (0;0;3) = (1;2;3)\).

\(\vec{OG} = \frac{1}{3}(1;2;3) = \left(\frac{1}{3};\frac{2}{3};1\right)\).

\(G\) est le centre de gravité du triangle \(ABC\).

C2 — Exploiter une figure pour exprimer un vecteur comme combinaison linéaire

Exercice 5

Dans un cube \(ABCDEFGH\) de côté 1, on pose \(\vec{u} = \vec{AB}\), \(\vec{v} = \vec{AD}\), \(\vec{w} = \vec{AE}\). Soit \(I\) le milieu de \([EG]\).

  1. Déterminer les coordonnées de \(I\) dans le repère \((A;\vec{u},\vec{v},\vec{w})\).
  2. Exprimer \(\vec{AI}\) comme combinaison linéaire de \(\vec{u}\), \(\vec{v}\), \(\vec{w}\).
  1. \(E(0;0;1)\) et \(G(1;1;1)\). \(I = \text{milieu de } [EG] = \left(\frac{1}{2};\frac{1}{2};1\right)\).
  2. \(\vec{AI} = \frac{1}{2}\vec{u} + \frac{1}{2}\vec{v} + \vec{w}\).
Exercice 6

Dans un tétraèdre \(ABCD\), on note \(I\) le milieu de \([BC]\) et \(J\) le milieu de \([AD]\).

Exprimer \(\vec{IJ}\) en fonction de \(\vec{AB}\), \(\vec{AC}\) et \(\vec{AD}\).

\(\vec{IJ} = \vec{IA} + \vec{AJ}\).

\(\vec{IA} = -\vec{AI} = -\frac{1}{2}(\vec{AB}+\vec{AC})\) (car \(I\) milieu de \([BC]\) implique \(\vec{AI} = \frac{1}{2}(\vec{AB}+\vec{AC})\)).

\(\vec{AJ} = \frac{1}{2}\vec{AD}\).

Donc \(\vec{IJ} = -\frac{1}{2}\vec{AB} - \frac{1}{2}\vec{AC} + \frac{1}{2}\vec{AD}\).

Exercice 7

Dans un pavé droit \(ABCDEFGH\), on pose \(\vec{u}=\vec{AB}\), \(\vec{v}=\vec{AD}\), \(\vec{w}=\vec{AE}\). Soit \(P\) le point défini par \(\vec{BP} = \frac{2}{3}\vec{BC} + \frac{1}{2}\vec{BF}\).

Exprimer \(\vec{AP}\) en fonction de \(\vec{u}\), \(\vec{v}\), \(\vec{w}\).

\(\vec{AP} = \vec{AB} + \vec{BP} = \vec{u} + \frac{2}{3}\vec{BC} + \frac{1}{2}\vec{BF}\).

Or \(\vec{BC} = \vec{AD} = \vec{v}\) et \(\vec{BF} = \vec{AE} = \vec{w}\).

Donc \(\vec{AP} = \vec{u} + \frac{2}{3}\vec{v} + \frac{1}{2}\vec{w}\).

Exercice 8

Dans un tétraèdre régulier \(ABCD\), soit \(G\) le centre de gravité de la face \(BCD\).

  1. Exprimer \(\vec{AG}\) en fonction de \(\vec{AB}\), \(\vec{AC}\), \(\vec{AD}\).
  2. Soit \(M\) le milieu de \([AG]\). Exprimer \(\vec{AM}\) en fonction de \(\vec{AB}\), \(\vec{AC}\), \(\vec{AD}\).
  1. Le centre de gravité de \(BCD\) vérifie \(\vec{AG} = \frac{1}{3}(\vec{AB}+\vec{AC}+\vec{AD})\).
  2. \(\vec{AM} = \frac{1}{2}\vec{AG} = \frac{1}{6}(\vec{AB}+\vec{AC}+\vec{AD})\).
Exercice 9

Dans un cube \(ABCDEFGH\), soit \(P\) le centre de la face \(BCGF\). Exprimer \(\vec{AP}\) en fonction de \(\vec{AB}\), \(\vec{AD}\), \(\vec{AE}\).

Le centre de \(BCGF\) est le milieu de la diagonale \([BG]\) (ou \([CF]\)).

\(B(1;0;0)\) et \(G(1;1;1)\), donc \(P\left(1;\frac{1}{2};\frac{1}{2}\right)\).

\(\vec{AP} = \vec{AB} + \frac{1}{2}\vec{AD} + \frac{1}{2}\vec{AE}\).

C3 — Décrire la position relative de droites et de plans

Exercice 10

Dans un cube \(ABCDEFGH\), déterminer la position relative des droites et plans suivants. Justifier à chaque fois.

  1. Droites \((AC)\) et \((EG)\)
  2. Droites \((AF)\) et \((CE)\)
  3. Droites \((AB)\) et \((GH)\)
  4. Droite \((AF)\) et plan \((DCGH)\)
  1. \(\vec{AC}(1;1;0)\) et \(\vec{EG}(1;1;0)\). Les vecteurs sont égaux donc colinéaires. Les droites sont parallèles. Comme \(A \notin (EFGH)\), elles sont strictement parallèles.
  2. \(\vec{AF}(1;0;1)\) et \(\vec{CE}(-1;-1;1)\). On vérifie : pas de \(\lambda\) tel que \(\vec{CE} = \lambda\vec{AF}\). Directions différentes. On vérifie si elles se coupent : en résolvant le système, on trouve qu'elles se coupent au centre du cube. Elles sont sécantes.
  3. \(\vec{AB}(1;0;0)\) et \(\vec{GH}(-1;0;0) = -\vec{AB}\). Colinéaires. \(A \notin (GH)\). Elles sont strictement parallèles.
  4. \(F(1;0;1)\). Le plan \((DCGH)\) est défini par \(D(0;1;0)\), \(\vec{DC}(1;0;0)\), \(\vec{DH}(0;0;1)\). \(\vec{AF}(1;0;1) = \vec{DC} + \vec{DH}\), donc \(\vec{AF}\) est combinaison linéaire des vecteurs du plan. Mais \(A(0;0;0) \notin (DCGH)\). Donc \((AF)\) est parallèle au plan \((DCGH)\).
Exercice 11

On considère les droites \(d_1\) passant par \(A(1;2;3)\) de vecteur directeur \(\vec{u}(1;-1;2)\) et \(d_2\) passant par \(B(3;0;7)\) de vecteur directeur \(\vec{v}(2;-2;4)\).

  1. Les droites sont-elles parallèles ?
  2. Sont-elles confondues ?
  1. \(\vec{v} = 2\vec{u}\) : les vecteurs directeurs sont colinéaires, donc les droites sont parallèles.
  2. On vérifie si \(B \in d_1\) : \(\vec{AB} = (2;-2;4) = 2\vec{u}\). Donc \(B \in d_1\). Les droites sont confondues.
Exercice 12

Soit \(d_1\) passant par \(A(0;1;2)\) de direction \(\vec{u}(1;1;0)\) et \(d_2\) passant par \(B(1;0;1)\) de direction \(\vec{v}(0;1;1)\).

  1. Montrer que les droites ne sont pas parallèles.
  2. Les droites sont-elles sécantes ou non coplanaires ? (Vérifier si \(\vec{AB}\) est combinaison linéaire de \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\).)
  1. \(\vec{u}(1;1;0)\) et \(\vec{v}(0;1;1)\) ne sont pas colinéaires (pas de \(\lambda\) convenant). Les droites ne sont pas parallèles.
  2. \(\vec{AB} = (1;-1;-1)\). On cherche \(\alpha, \beta\) tels que \(\vec{AB} = \alpha\vec{u} + \beta\vec{v}\) : \[\begin{cases} \alpha = 1 \\ \alpha + \beta = -1 \\ \beta = -1 \end{cases}\] De (1) : \(\alpha = 1\). De (3) : \(\beta = -1\). Vérification dans (2) : \(1 + (-1) = 0 \neq -1\).
    Système incompatible : \(\vec{AB}\) n'est pas combinaison linéaire de \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\).
    Les droites sont non coplanaires.
Exercice 13

Le plan \(\mathcal{P}\) passe par \(A(2;0;1)\) et est dirigé par \(\vec{u}(1;1;0)\) et \(\vec{v}(0;1;2)\). La droite \(d\) passe par \(B(1;-1;3)\) de direction \(\vec{w}(1;2;2)\).

Déterminer la position relative de \(d\) et \(\mathcal{P}\).

On cherche si \(\vec{w}\) est combinaison linéaire de \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) : \(\vec{w} = \alpha\vec{u} + \beta\vec{v}\).

\[\begin{cases} \alpha = 1 \\ \alpha + \beta = 2 \\ 2\beta = 2 \end{cases}\]

\(\alpha = 1\), \(\beta = 1\). Vérification : \(\alpha + \beta = 2\) ✓ et \(2\beta = 2\) ✓.

Donc \(\vec{w} = \vec{u} + \vec{v}\) : la droite est parallèle au plan (ou incluse).

On vérifie si \(B \in \mathcal{P}\) : \(\vec{AB} = (-1;-1;2)\). On cherche \(\alpha, \beta\) tels que \(\vec{AB} = \alpha\vec{u} + \beta\vec{v}\) :

\[\begin{cases} \alpha = -1 \\ \alpha + \beta = -1 \\ 2\beta = 2 \end{cases}\]

\(\beta = 1\), mais \(\alpha + \beta = -1 + 1 = 0 \neq -1\). Système incompatible : \(B \notin \mathcal{P}\).

La droite est strictement parallèle au plan.

C4 — Lire sur une figure si des vecteurs forment une base

Exercice 14

Les vecteurs suivants forment-ils une base de l'espace ? Justifier.

  1. \(\vec{u}(1;0;0)\), \(\vec{v}(0;1;0)\), \(\vec{w}(0;0;1)\)
  2. \(\vec{u}(1;2;3)\), \(\vec{v}(0;1;1)\), \(\vec{w}(1;3;4)\)
  3. \(\vec{u}(1;1;0)\), \(\vec{v}(0;1;1)\), \(\vec{w}(1;0;-1)\)
  1. C'est la base canonique. Aucun des trois n'est combinaison linéaire des deux autres. C'est une base.
  2. On vérifie si \(\vec{w} = \alpha\vec{u} + \beta\vec{v}\) : \((1;3;4) = \alpha(1;2;3) + \beta(0;1;1)\).
    \(\alpha = 1\), \(2\alpha + \beta = 3 \Rightarrow \beta = 1\), \(3\alpha + \beta = 3 + 1 = 4\) ✓.
    \(\vec{w} = \vec{u} + \vec{v}\) : les vecteurs sont coplanaires. Ce n'est pas une base.
  3. On résout \(\alpha\vec{u} + \beta\vec{v} + \gamma\vec{w} = \vec{0}\) : \[\begin{cases} \alpha + \gamma = 0 \\ \alpha + \beta = 0 \\ \beta - \gamma = 0 \end{cases}\] De (1) : \(\gamma = -\alpha\). De (2) : \(\beta = -\alpha\). Dans (3) : \(-\alpha - (-\alpha) = 0\) ✓ pour tout \(\alpha\).
    Il existe des solutions non triviales (par ex. \(\alpha=1, \beta=-1, \gamma=-1\)). Ce n'est pas une base.
Exercice 15

Dans un cube \(ABCDEFGH\), indiquer si les triplets de vecteurs suivants forment une base de l'espace. Justifier géométriquement.

  1. \((\vec{AB}, \vec{AD}, \vec{AE})\)
  2. \((\vec{AB}, \vec{AC}, \vec{AD})\)
  3. \((\vec{AB}, \vec{AD}, \vec{AG})\)
  4. \((\vec{AB}, \vec{AE}, \vec{BF})\)
  1. Oui. Les trois arêtes du cube issues de \(A\) sont selon trois directions perpendiculaires. Les vecteurs ne sont pas coplanaires.
  2. Non. \(\vec{AC} = \vec{AB} + \vec{AD}\), donc \(\vec{AC}\) est combinaison linéaire de \(\vec{AB}\) et \(\vec{AD}\). Les trois vecteurs sont coplanaires (tous dans le plan \((ABCD)\)).
  3. Non. \(\vec{AG} = \vec{AB} + \vec{AD} + \vec{AE}\). On a \(\vec{AG} = \vec{AB} + \vec{AD} + \vec{AE}\), mais cela ne signifie pas que \(\vec{AG}\) est combinaison linéaire de \(\vec{AB}\) et \(\vec{AD}\) seuls. Vérifions : \(\vec{AG}(1;1;1)\), \(\vec{AB}(1;0;0)\), \(\vec{AD}(0;1;0)\). On cherche \(\alpha,\beta\) tels que \((1;1;1) = \alpha(1;0;0) + \beta(0;1;0)\) : impossible car la 3e composante donne \(0 = 1\). Les trois vecteurs ne sont pas coplanaires. Oui, c'est une base.
  4. Non. \(\vec{BF} = \vec{AE}\) (translation). Donc \(\vec{AE}\) et \(\vec{BF}\) sont colinéaires, et les trois vecteurs \(\vec{AB}\), \(\vec{AE}\), \(\vec{BF}\) sont coplanaires (dans un plan contenant la direction de \(\vec{AB}\) et celle de \(\vec{AE}\)).
Exercice 16

Montrer que les vecteurs \(\vec{u}(2;1;-1)\), \(\vec{v}(1;-1;2)\), \(\vec{w}(3;0;1)\) forment une base, puis décomposer \(\vec{t}(7;1;2)\) dans cette base.

Base : On résout \(\alpha\vec{u} + \beta\vec{v} + \gamma\vec{w} = \vec{0}\) :

\[\begin{cases} 2\alpha + \beta + 3\gamma = 0 \\ \alpha - \beta = 0 \\ -\alpha + 2\beta + \gamma = 0 \end{cases}\]

De (2) : \(\alpha = \beta\). Dans (3) : \(-\alpha + 2\alpha + \gamma = 0\), soit \(\gamma = -\alpha\). Dans (1) : \(2\alpha + \alpha - 3\alpha = 0\) ✓ pour tout \(\alpha\).

Attention : le système admet des solutions non triviales (\(\alpha = \beta = 1, \gamma = -1\)). Vérifions : \(\vec{u} + \vec{v} - \vec{w} = (2+1-3; 1-1-0; -1+2-1) = (0;0;0)\). ✓

Donc \(\vec{w} = \vec{u} + \vec{v}\) : ces vecteurs ne forment pas une base (ils sont coplanaires).

Par conséquent, on ne peut pas décomposer tout vecteur de l'espace dans cette famille.

Exercice 17

Montrer que \(\vec{u}(1;1;0)\), \(\vec{v}(1;0;1)\), \(\vec{w}(0;1;1)\) forment une base de l'espace, puis exprimer \(\vec{e_1}(1;0;0)\), \(\vec{e_2}(0;1;0)\) et \(\vec{e_3}(0;0;1)\) dans cette base.

Base : \(\alpha\vec{u} + \beta\vec{v} + \gamma\vec{w} = \vec{0}\) donne :

\[\begin{cases} \alpha + \beta = 0 \\ \alpha + \gamma = 0 \\ \beta + \gamma = 0 \end{cases}\]

\(\beta = -\alpha\), \(\gamma = -\alpha\), puis \(-\alpha - \alpha = 0\) donne \(\alpha = 0\). Unique solution triviale : c'est une base.

Décomposition de \(\vec{e_1}\) : \(\alpha + \beta = 1\), \(\alpha + \gamma = 0\), \(\beta + \gamma = 0\).

\(\gamma = -\beta\), \(\alpha = \beta\), \(2\beta = 1\), \(\beta = \frac{1}{2}\). Donc \(\vec{e_1} = \frac{1}{2}\vec{u} + \frac{1}{2}\vec{v} - \frac{1}{2}\vec{w}\).

Décomposition de \(\vec{e_2}\) : \(\alpha + \beta = 0\), \(\alpha + \gamma = 1\), \(\beta + \gamma = 0\).

\(\beta = -\alpha\), \(\gamma = \alpha\), \(-\alpha + \alpha = 0 \neq 0\)... Reprenons : \(\beta + \gamma = 0\) donne \(\gamma = -\beta = \alpha\). Dans (2) : \(\alpha + \alpha = 1\), \(\alpha = \frac{1}{2}\). Donc \(\vec{e_2} = \frac{1}{2}\vec{u} - \frac{1}{2}\vec{v} + \frac{1}{2}\vec{w}\).

Décomposition de \(\vec{e_3}\) : Par symétrie : \(\vec{e_3} = -\frac{1}{2}\vec{u} + \frac{1}{2}\vec{v} + \frac{1}{2}\vec{w}\).