Devoir Surveillé – Chapitre 2

Vecteurs, droites et plans de l'espace | Terminale générale | Mathématiques

Dernière mise à jour : 15 juin 2026

🕑 Durée : 1 heure

🧮 Calculatrice : autorisée

✍ Barème : 20 points

📄 Documents : non autorisés

Exercice 1 — Lecture dans un cube (6 points)

Cube \(ABCDEFGH\), repère \((A;\vec{AB},\vec{AD},\vec{AE})\).

1. Donne les coordonnées de \(G\) et de \(\vec{CF}\). (3 pts)

2. Le milieu \(I\) de \([AG]\) : donne ses coordonnées. (3 pts)

1. \(G(1,1,1)\). \(C(1,1,0),F(1,0,1)\) → \(\vec{CF}=(0,-1,1)\).

2. \(I=\left(\tfrac{0+1}{2},\tfrac{0+1}{2},\tfrac{0+1}{2}\right)=(\tfrac12,\tfrac12,\tfrac12)\).

Exercice 2 — Colinéarité et parallélisme (5 points)

\(\vec{u}(3,-2,1)\), \(\vec{v}(-6,4,-2)\), \(\vec{w}(3,-2,2)\).

1. \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) sont-ils colinéaires ? (2 pts)

2. \(\vec{u}\) et \(\vec{w}\) sont-ils colinéaires ? (3 pts)

1. \(\vec{v}=-2\vec{u}\) → colinéaires.

2. \(\frac{3}{3}=1,\frac{-2}{-2}=1,\frac{2}{1}=2\neq1\) → non colinéaires.

Exercice 3 — Coplanarité (4 points)

Soit \(\vec{u}(1,1,0)\), \(\vec{v}(0,1,1)\), \(\vec{w}(2,3,1)\). Montre que ces vecteurs sont coplanaires.

On cherche \(a,b\) : \(a\vec u+b\vec v=(a,\,a+b,\,b)\). Pour \((2,3,1)\) : \(a=2,\ b=1,\ a+b=3\) ✓. Donc \(\vec w=2\vec u+\vec v\) : coplanaires.

Exercice 4 — Problème (type Bac) (5 points)

\(A(1,0,2)\), \(B(2,1,1)\), \(C(0,2,3)\), \(D(3,3,0)\).

1. Calcule \(\vec{AB}\), \(\vec{AC}\), \(\vec{AD}\). (2 pts)

2. Les points \(A,B,C,D\) sont-ils coplanaires ? (3 pts)

1. \(\vec{AB}=(1,1,-1)\), \(\vec{AC}=(-1,2,1)\), \(\vec{AD}=(2,3,-2)\).

2. On cherche \(\vec{AD}=a\vec{AB}+b\vec{AC}\) : \(a-b=2\), \(a+2b=3\), \(-a+b=-2\). Des deux premières : \(3b=1\Rightarrow b=\tfrac13\), \(a=2+\tfrac13=\tfrac73\). Vérif 3ᵉ : \(-\tfrac73+\tfrac13=-2\) ✓. Donc \(A,B,C,D\) sont coplanaires.