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Interrogation — Ch01 : Combinatoire et dénombrement

Terminale générale | Mathématiques | Durée : 30 min | /20

Dernière mise à jour : 21 juin 2026

Nom : _____ Prénom : _____ Date : _____

Exercice 1 — Principes de dénombrement (3 pts)

Un restaurant propose une formule composée d'une entrée parmi 4, d'un plat parmi 6 et d'un dessert parmi 3.

  1. Combien de formules complètes (entrée + plat + dessert) peut-on composer ? (1 pt)
  2. Un client veut seulement un plat ou un dessert (un seul des deux). Combien de choix a-t-il ? (1 pt)
  3. Combien de formules ne comportant pas de dessert (entrée + plat seulement) peut-on composer ? (1 pt)

Exercice 2 — Listes et codes (4 pts)

On forme des codes à l'aide des 26 lettres de l'alphabet et des 10 chiffres (de 0 à 9).

  1. Combien de codes de 4 chiffres (répétitions autorisées) peut-on former, par exemple un code PIN ? (1,5 pt)
  2. Un mot de passe est formé de 3 lettres suivies de 2 chiffres, toutes les répétitions étant autorisées. Combien de mots de passe différents existe-t-il ? Donner l'expression puis la valeur. (2,5 pts)

Exercice 3 — Arrangements et permutations (4 pts)

Une course oppose 8 athlètes. À l'arrivée, il n'y a pas d'ex æquo.

  1. Combien de podiums différents (1er, 2e, 3e) sont possibles ? (2 pts)
  2. Combien de classements complets des 8 athlètes sont possibles ? (2 pts)

Exercice 4 — Combinaisons (5 pts)

Un club de 12 membres doit élire un bureau et organiser un tournoi.

  1. Calculer \(\displaystyle\binom{12}{3}\) et \(\displaystyle\binom{12}{2}\) en détaillant le calcul. (2 pts)
  2. On choisit 3 délégués parmi les 12 membres (postes non distingués). Combien de choix possibles ? (1,5 pt)
  3. On forme une équipe de 2 joueurs parmi les 12 membres. Combien d'équipes différentes peut-on former ? (1,5 pt)

Exercice 5 — Problème : un comité (4 pts)

Un groupe est composé de 7 femmes et 5 hommes. On souhaite former un comité de 4 personnes.

  1. Combien de comités de 4 personnes peut-on former parmi les 12 personnes ? (1,5 pt)
  2. Combien de comités sont composés de 2 femmes et 2 hommes ? (2,5 pts)

Correction

Exercice 1 (3 pts)

a) Principe multiplicatif : \(4 \times 6 \times 3 = 72\) formules complètes. (1 pt)

b) Principe additif (les deux choix sont disjoints : on prend l'un OU l'autre) : \(6 + 3 = 9\) choix. (1 pt)

c) Entrée + plat : \(4 \times 6 = 24\) formules sans dessert. (1 pt)

Exercice 2 (4 pts)

a) Un code PIN est un 4-uplet de l'ensemble \(\{0,1,\ldots,9\}\) à 10 éléments, avec répétitions : \(10^4 = 10\,000\) codes. (1,5 pt)

b) 3 lettres (26 possibilités chacune) puis 2 chiffres (10 possibilités chacun), répétitions autorisées : \[26^3 \times 10^2 = 17\,576 \times 100 = 1\,757\,600\] Il existe \(1\,757\,600\) mots de passe différents. (2,5 pts)

Exercice 3 (4 pts)

a) Un podium est un 3-uplet d'éléments distincts (arrangement de 3 parmi 8), l'ordre compte : \[8 \times 7 \times 6 = 336 \text{ podiums.}\] (2 pts)

b) Un classement complet est une permutation des 8 athlètes : \[8! = 40\,320 \text{ classements.}\] (2 pts)

Exercice 4 (5 pts)

a) \(\displaystyle\binom{12}{3} = \frac{12 \times 11 \times 10}{3!} = \frac{1320}{6} = 220\) ; \(\displaystyle\binom{12}{2} = \frac{12 \times 11}{2} = \frac{132}{2} = 66\). (2 pts : 1 pt chacun)

b) On choisit 3 personnes parmi 12, l'ordre ne compte pas (postes non distingués) : \(\displaystyle\binom{12}{3} = 220\) choix. (1,5 pt)

c) On choisit 2 joueurs parmi 12, l'ordre ne compte pas : \(\displaystyle\binom{12}{2} = 66\) équipes. (1,5 pt)

Exercice 5 (4 pts)

a) On choisit 4 personnes parmi \(7 + 5 = 12\), l'ordre ne compte pas : \[\binom{12}{4} = \frac{12 \times 11 \times 10 \times 9}{4!} = \frac{11\,880}{24} = 495 \text{ comités.}\] (1,5 pt)

b) On choisit 2 femmes parmi 7 ET 2 hommes parmi 5 (principe multiplicatif) : \[\binom{7}{2} \times \binom{5}{2} = \frac{7 \times 6}{2} \times \frac{5 \times 4}{2} = 21 \times 10 = 210 \text{ comités.}\] (2,5 pts)

Total : 3 + 4 + 4 + 5 + 4 = 20 points.