Exercices – Chapitre 1

Combinatoire et dénombrement | Terminale générale | Mathématiques

Dernière mise à jour : 15 juin 2026

Rappels utiles :

Principe multiplicatif : un choix en plusieurs étapes indépendantes se compte en multipliant les possibilités.
Nombre de parties d'un ensemble à \(n\) éléments : \(2^n\).
Permutations de \(n\) éléments : \(n!\).
Nombre de \(k\)-uplets d'éléments distincts : \(\dfrac{n!}{(n-k)!}\).
Combinaisons : \(\displaystyle\binom{n}{k}=\dfrac{n!}{k!\,(n-k)!}\).

Exercice 1 — Principe multiplicatif

Un menu propose 3 entrées, 4 plats et 2 desserts.

1. Combien de menus complets (entrée + plat + dessert) peut-on composer ?

2. Combien de menus si l'on prend seulement un plat et un dessert ?

1. \(3 \times 4 \times 2 = \mathbf{24}\) menus.

2. \(4 \times 2 = \mathbf{8}\) menus.

Exercice 2 — Codes et plaques

1. Combien de codes à 4 chiffres (de 0 à 9) peut-on former ? (les répétitions sont permises)

2. Combien de codes à 4 chiffres tous différents ?

3. Une plaque est formée de 2 lettres (26) suivies de 3 chiffres. Combien de plaques possibles ?

1. \(10^4 = \mathbf{10\,000}\).

2. \(10 \times 9 \times 8 \times 7 = \mathbf{5\,040}\) (k-uplets d'éléments distincts, \(\frac{10!}{6!}\)).

3. \(26^2 \times 10^3 = 676 \times 1000 = \mathbf{676\,000}\).

Exercice 3 — Parties d'un ensemble

Soit un ensemble \(E\) de 5 éléments.

1. Combien de parties (sous-ensembles) possède \(E\) ?

2. Combien de ces parties ont exactement 2 éléments ?

1. \(2^5 = \mathbf{32}\) parties.

2. \(\displaystyle\binom{5}{2}=\dfrac{5!}{2!\,3!}=\dfrac{5\times4}{2}= \mathbf{10}\).

Exercice 4 — Permutations et anagrammes

1. De combien de façons peut-on ranger 6 livres distincts sur une étagère ?

2. Combien d'anagrammes (mots ayant un sens ou non) peut-on former avec les lettres du mot JEUDI (toutes distinctes) ?

1. \(6! = \mathbf{720}\).

2. JEUDI a 5 lettres distinctes : \(5! = \mathbf{120}\) anagrammes.

Exercice 5 — Combinaisons : choisir sans ordre

Dans une classe de 30 élèves, on choisit un groupe de 3 délégués.

1. L'ordre du choix compte-t-il ? Quel outil utilise-t-on ?

2. Calcule le nombre de groupes possibles.

1. L'ordre ne compte pas (un groupe est un sous-ensemble) → combinaisons.

2. \(\displaystyle\binom{30}{3}=\dfrac{30\times29\times28}{3\times2\times1}=\dfrac{24\,360}{6}=\mathbf{4\,060}\).

Exercice 6 — Coefficients binomiaux

1. Calcule \(\binom{7}{0}\), \(\binom{7}{7}\) et \(\binom{7}{1}\).

2. Vérifie la symétrie : \(\binom{7}{2}=\binom{7}{5}\).

3. Utilise la relation de Pascal \(\binom{n}{k}+\binom{n}{k+1}=\binom{n+1}{k+1}\) pour calculer \(\binom{6}{2}+\binom{6}{3}\).

1. \(\binom{7}{0}=1\), \(\binom{7}{7}=1\), \(\binom{7}{1}=7\).

2. \(\binom{7}{2}=\dfrac{7\times6}{2}=21\) et \(\binom{7}{5}=\binom{7}{2}=21\). ✓

3. \(\binom{6}{2}+\binom{6}{3}=\binom{7}{3}=\dfrac{7\times6\times5}{6}=\mathbf{35}\).

Exercice 7 — Jeu de cartes (type Bac)

On tire simultanément 5 cartes d'un jeu de 32 cartes.

1. Combien de mains de 5 cartes différentes existe-t-il ?

2. Combien de mains contiennent exactement les 4 rois ? (et donc 1 autre carte)

3. Combien de mains contiennent exactement 2 cœurs (il y a 8 cœurs) ?

1. \(\displaystyle\binom{32}{5}=201\,376\).

2. Les 4 rois sont imposés ; on choisit 1 carte parmi les 28 restantes : \(\binom{4}{4}\binom{28}{1}=\mathbf{28}\).

3. Choisir 2 cœurs parmi 8 et 3 cartes parmi les 24 non-cœurs : \(\displaystyle\binom{8}{2}\binom{24}{3}=28\times2024=\mathbf{56\,672}\).

Exercice 8 — Approfondissement

Un comité de 4 personnes est choisi parmi 6 femmes et 5 hommes.

1. Combien de comités possibles en tout ?

2. Combien de comités comptent exactement 2 femmes et 2 hommes ?

3. Combien de comités comptent au moins une femme ?

1. \(\displaystyle\binom{11}{4}=330\).

2. \(\displaystyle\binom{6}{2}\binom{5}{2}=15\times10=\mathbf{150}\).

3. Total − (aucune femme) \(=\binom{11}{4}-\binom{5}{4}=330-5=\mathbf{325}\).