Exercices par capacités · Terminale générale
Un restaurant propose 3 entrées (E1, E2, E3) et 2 plats (P1, P2). Construire un arbre des possibilités et déterminer le nombre de menus différents.
L'arbre comporte 3 branches au premier niveau (entrées) puis 2 sous-branches chacune (plats).
On obtient les menus : (E1,P1), (E1,P2), (E2,P1), (E2,P2), (E3,P1), (E3,P2).
Nombre de menus : \(3 \times 2 = 6\) (principe multiplicatif).
On lance une pièce de monnaie 3 fois. En utilisant un arbre, dénombrer le nombre total de résultats possibles et le nombre de résultats contenant exactement 2 Pile.
Chaque lancer a 2 issues (P ou F). L'arbre a \(2^3 = 8\) feuilles :
PPP, PPF, PFP, PFF, FPP, FPF, FFP, FFF.
Nombre total : 8.
Résultats avec exactement 2 Pile : PPF, PFP, FPP → 3 résultats.
On retrouve \(\displaystyle\binom{3}{2} = 3\).
Parmi les situations suivantes, identifier s'il s'agit d'un \(k\)-uplet avec répétition, d'un arrangement, d'une permutation ou d'une combinaison :
Représenter à l'aide d'un tableau (produit cartésien) les résultats du lancer de deux dés à 6 faces. En déduire le nombre de résultats donnant une somme égale à 7.
Le tableau est un tableau \(6 \times 6\) donnant 36 résultats (couples).
Les couples donnant une somme de 7 sont : (1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1) → 6 résultats.
Un mot de passe doit comporter 8 caractères : les 3 premiers sont des lettres majuscules (26 possibles), les 5 suivants sont des chiffres (0 à 9). Les répétitions sont autorisées. Combien de mots de passe peut-on former ?
Par le principe multiplicatif :
\(26^3 \times 10^5 = 17\,576 \times 100\,000 = 1\,757\,600\,000\)
On peut former environ 1,76 milliard de mots de passe.
Combien de nombres entiers compris entre 100 et 999 sont composés de chiffres tous différents ?
Un nombre entre 100 et 999 a 3 chiffres. Le chiffre des centaines ne peut pas être 0.
Total : \(9 \times 9 \times 8 = 648\) nombres.
Un club de 15 membres doit élire un bureau composé d'un président, un vice-président, un trésorier et un secrétaire (tous différents). Combien de bureaux différents peut-on former ?
Les postes sont distincts, donc l'ordre compte. C'est un arrangement de 4 parmi 15 :
\(15 \times 14 \times 13 \times 12 = 32\,760\) bureaux.
Dans un jeu de 32 cartes, on tire simultanément 5 cartes.
Un ADN est constitué d'une séquence de nucléotides parmi 4 (A, T, C, G). Combien de séquences différentes de longueur 6 existe-t-il ?
C'est un 6-uplet de l'ensemble \(\{A, T, C, G\}\) (avec répétition) :
\(4^6 = 4096\) séquences.
Combien de parties de \(\{1, 2, 3, \ldots, 10\}\) contiennent exactement 3 nombres pairs ?
Les nombres pairs de l'ensemble sont \(\{2, 4, 6, 8, 10\}\) (5 éléments). Les impairs sont \(\{1, 3, 5, 7, 9\}\) (5 éléments).
On choisit 3 pairs parmi 5 : \(\displaystyle\binom{5}{3} = 10\).
Chaque impair est soit dans la partie, soit non : \(2^5 = 32\) choix.
Total : \(10 \times 32 = 320\) parties.
Calculer les coefficients binomiaux suivants :
Simplifier les expressions suivantes :
Résoudre l'équation \(\displaystyle\binom{n}{2} = 45\) pour \(n\) entier naturel.
\(\displaystyle\binom{n}{2} = \frac{n(n-1)}{2} = 45\), donc \(n(n-1) = 90\).
On cherche \(n\) entier tel que \(n^2 - n - 90 = 0\).
\(\Delta = 1 + 360 = 361 = 19^2\), donc \(n = \frac{1+19}{2} = 10\) ou \(n = \frac{1-19}{2} = -9\) (rejeté).
Réponse : \(n = 10\).
Montrer que pour tout \(n \geqslant 2\) : \(\displaystyle\binom{n}{2} + \binom{n}{1} = \binom{n+1}{2}\).
C'est un cas particulier de la relation de Pascal avec \(k=2\) :
\(\displaystyle\binom{n+1}{2} = \binom{n}{1} + \binom{n}{2}\).
Vérifions par le calcul :
\(\displaystyle\binom{n}{2} + \binom{n}{1} = \frac{n(n-1)}{2} + n = \frac{n(n-1) + 2n}{2} = \frac{n^2 - n + 2n}{2} = \frac{n^2 + n}{2} = \frac{n(n+1)}{2} = \binom{n+1}{2}\). □
Un sac contient 6 boules rouges et 4 boules bleues. On tire 3 boules simultanément.
Compléter les lignes \(n=7\) et \(n=8\) du triangle de Pascal.
Ligne \(n=6\) : 1, 6, 15, 20, 15, 6, 1
Ligne \(n=7\) : 1, 7, 21, 35, 35, 21, 7, 1
Ligne \(n=8\) : 1, 8, 28, 56, 70, 56, 28, 8, 1
Vérification : somme ligne 7 = \(128 = 2^7\) ✓, somme ligne 8 = \(256 = 2^8\) ✓.
En utilisant la relation de Pascal, calculer \(\displaystyle\binom{7}{3}\) sachant que \(\displaystyle\binom{6}{2} = 15\) et \(\displaystyle\binom{6}{3} = 20\).
\(\displaystyle\binom{7}{3} = \binom{6}{2} + \binom{6}{3} = 15 + 20 = 35\).
Démontrer la relation de Pascal : pour \(1 \leqslant k \leqslant n\),
\[\binom{n}{k} = \binom{n-1}{k-1} + \binom{n-1}{k}\]\(\displaystyle\binom{n-1}{k-1} + \binom{n-1}{k} = \frac{(n-1)!}{(k-1)!(n-k)!} + \frac{(n-1)!}{k!(n-1-k)!}\)
\(= \frac{(n-1)!\, k}{k!(n-k)!} + \frac{(n-1)!\,(n-k)}{k!(n-k)!}\)
\(= \frac{(n-1)![k + (n-k)]}{k!(n-k)!} = \frac{(n-1)!\, n}{k!(n-k)!} = \frac{n!}{k!(n-k)!} = \binom{n}{k}\). □
Montrer que pour tout \(n \geqslant 0\) :
\[\binom{n}{0} - \binom{n}{1} + \binom{n}{2} - \cdots + (-1)^n\binom{n}{n} = 0\]Indication : considérer \((1-1)^n\).
D'après la formule du binôme de Newton :
\[(a+b)^n = \sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}a^{n-k}b^k\]En posant \(a = 1\) et \(b = -1\) :
\[(1+(-1))^n = \sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}1^{n-k}(-1)^k = \sum_{k=0}^{n}(-1)^k\binom{n}{k}\]Or \((1-1)^n = 0^n = 0\) (pour \(n \geqslant 1\)).
Donc \(\displaystyle\sum_{k=0}^{n}(-1)^k\binom{n}{k} = 0\). □
On considère un polygone régulier à 10 sommets. Combien de diagonales peut-on tracer ?
Indication : compter d'abord le nombre total de segments reliant deux sommets, puis retrancher les côtés.
Nombre total de segments reliant 2 sommets parmi 10 : \(\displaystyle\binom{10}{2} = 45\).
Parmi ces segments, 10 sont des côtés du polygone.
Nombre de diagonales : \(45 - 10 = 35\).