Devoir Surveillé – Chapitre 1

Combinatoire et dénombrement | Terminale générale | Mathématiques

Dernière mise à jour : 15 juin 2026

🕑 Durée : 1 heure

🧮 Calculatrice : autorisée

✍ Barème : 20 points

📄 Documents : non autorisés

Rappels : \(n!\) permutations ; \(k\)-uplets distincts \(\dfrac{n!}{(n-k)!}\) ; combinaisons \(\binom{n}{k}=\dfrac{n!}{k!(n-k)!}\) ; parties d'un ensemble \(2^n\).

Exercice 1 — Dénombrements directs (6 points)

1. Un cadenas a un code de 3 chiffres (0 à 9). Combien de codes possibles ? (2 pts)

2. Combien de mots de 4 lettres distinctes peut-on former avec les 26 lettres de l'alphabet ? (2 pts)

3. Combien de parties possède un ensemble de 8 éléments ? (2 pts)

1. \(10^3 = 1\,000\).

2. \(26\times25\times24\times23 = 358\,800\) (\(\frac{26!}{22!}\)).

3. \(2^8 = 256\).

Exercice 2 — Permutations (5 points)

Huit athlètes disputent une finale du 100 m (pas d'ex æquo).

1. Combien de classements complets sont possibles ? (2 pts)

2. Combien de podiums (1ᵉʳ, 2ᵉ, 3ᵉ) différents ? (3 pts)

1. \(8! = 40\,320\).

2. L'ordre compte (k-uplet distinct) : \(8\times7\times6 = 336\) podiums (soit \(\frac{8!}{5!}\)).

Exercice 3 — Combinaisons (5 points)

Une urne contient 10 boules numérotées. On en tire 4 simultanément.

1. L'ordre compte-t-il ? Justifie. (1 pt)

2. Combien de tirages possibles ? (2 pts)

3. Combien de tirages contiennent la boule n°1 ? (2 pts)

1. Tirage simultané → l'ordre ne compte pas → combinaisons.

2. \(\displaystyle\binom{10}{4}=210\).

3. La boule n°1 est imposée ; on choisit 3 boules parmi les 9 autres : \(\binom{9}{3}=84\).

Exercice 4 — Problème (type Bac) (4 points)

Un groupe est composé de 7 filles et 5 garçons. On choisit une équipe de 5 personnes.

1. Combien d'équipes possibles ? (1 pt)

2. Combien d'équipes comptent exactement 3 filles et 2 garçons ? (2 pts)

3. Combien d'équipes ne comptent aucun garçon ? (1 pt)

1. \(\displaystyle\binom{12}{5}=792\).

2. \(\displaystyle\binom{7}{3}\binom{5}{2}=35\times10=350\).

3. Équipe entièrement féminine : \(\binom{7}{5}=21\).