Chapitre 7 – Calculs numériques

CAP | Mathématiques | Automatismes

Dernière mise à jour : 28 mars 2026

Objectifs du chapitre :

Effectuer des calculs avec nombres décimaux et fractionnaires
Utiliser les puissances de 10 et la notation scientifique
Maîtriser les priorités opératoires sur une calculatrice
Estimer et arrondir un résultat avec un nombre de chiffres significatifs adapté

1. Introduction — Calculer vite et bien

Situation professionnelle — Mesures d'atelier

Situation 1 : Un ébéniste doit débiter une planche en 4 morceaux égaux. La planche mesure 2,40 m. Chaque morceau fait \(\dfrac{2{,}40}{4} = 0{,}60\) m = 60 cm. Mais il doit aussi retirer 3 mm de trait de scie entre chaque coupe (3 traits de scie) : longueur utile = \(2{,}40 - 3 \times 0{,}003 = 2{,}40 - 0{,}009 = 2{,}391\) m.

Situation 2 : Un installateur thermique mesure le diamètre d'un tuyau en cuivre : 22 mm. En notation scientifique : \(22\text{ mm} = 2{,}2 \times 10^{-2}\text{ m}\). Ces calculs rapides sont indispensables au quotidien.

2. Fractions

Définition — Fraction :
Une fraction est le quotient de deux nombres entiers : \[\frac{a}{b} \quad \text{avec } b \neq 0\] \(a\) est le numérateur et \(b\) le dénominateur.

Exemple : \(\dfrac{3}{4}\) signifie « 3 divisé par 4 », soit 0,75.

Règles de calcul avec les fractions :

Opération	Règle	Exemple
Addition (même dénominateur)	\(\dfrac{a}{b} + \dfrac{c}{b} = \dfrac{a+c}{b}\)	\(\dfrac{2}{5} + \dfrac{1}{5} = \dfrac{3}{5}\)
Addition (dénominateurs différents)	Mettre au même dénominateur	\(\dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{4} = \dfrac{4}{12} + \dfrac{3}{12} = \dfrac{7}{12}\)
Multiplication	\(\dfrac{a}{b} \times \dfrac{c}{d} = \dfrac{a \times c}{b \times d}\)	\(\dfrac{2}{3} \times \dfrac{5}{7} = \dfrac{10}{21}\)
Division	\(\dfrac{a}{b} \div \dfrac{c}{d} = \dfrac{a}{b} \times \dfrac{d}{c}\)	\(\dfrac{3}{4} \div \dfrac{2}{5} = \dfrac{3}{4} \times \dfrac{5}{2} = \dfrac{15}{8}\)

Méthode — Additionner deux fractions :

Vérifier si les dénominateurs sont égaux. Si oui, additionner les numérateurs.

Si non, trouver un dénominateur commun (le plus petit multiple commun).

Transformer chaque fraction pour avoir le même dénominateur.

Additionner les numérateurs et simplifier si possible.

Exemple — Calcul de longueur en atelier :
Un menuisier découpe \(\dfrac{3}{8}\) d'une planche, puis \(\dfrac{1}{4}\) de la même planche. Quelle fraction a-t-il utilisée ? \[\frac{3}{8} + \frac{1}{4} = \frac{3}{8} + \frac{2}{8} = \frac{5}{8}\] Il a utilisé \(\dfrac{5}{8}\) de la planche. Il reste \(\dfrac{3}{8}\).

Attention — Erreurs fréquentes avec les fractions :

Ne pas additionner les dénominateurs : \(\dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{4} \neq \dfrac{2}{7}\). Il faut \(\dfrac{4}{12} + \dfrac{3}{12} = \dfrac{7}{12}\).
Diviser par une fraction = multiplier par l'inverse : \(\dfrac{3}{4} \div 2 = \dfrac{3}{4} \times \dfrac{1}{2} = \dfrac{3}{8}\).

3. Nombres décimaux et priorités de calcul

Définition — Nombre décimal :
Un nombre décimal est un nombre qui peut s'écrire sous forme d'une fraction dont le dénominateur est une puissance de 10.

Exemples : \(3{,}75 = \dfrac{375}{100}\) ; \(0{,}4 = \dfrac{4}{10}\) ; \(12 = \dfrac{12}{1}\).

Priorités de calcul (règle PEMDAS) :
Dans un calcul sans parenthèses, on effectue dans l'ordre :

Parenthèses (ou crochets) : on calcule d'abord ce qui est entre parenthèses.
Puissances : exposants.
Multiplications et divisions : de gauche à droite.
Additions et soustractions : de gauche à droite.

Exemple — Application des priorités :
Calculer \(A = 3 + 4 \times 5 - 2\) : \[A = 3 + \underbrace{4 \times 5}_{=20} - 2 = 3 + 20 - 2 = 21\] Calculer \(B = (3 + 4) \times (5 - 2)\) : \[B = \underbrace{(3+4)}_{=7} \times \underbrace{(5-2)}_{=3} = 7 \times 3 = 21\]

Attention — La multiplication est prioritaire :
\(3 + 4 \times 5 = 23\) et non \(35\). On effectue d'abord \(4 \times 5 = 20\), puis \(3 + 20 = 23\).

4. Puissances de 10 et écriture scientifique

Définition — Puissances de 10 :

Puissance	Valeur	Nom
\(10^3\)	1 000	mille
\(10^2\)	100	cent
\(10^1\)	10	dix
\(10^0\)	1	un
\(10^{-1}\)	0,1	dixième
\(10^{-2}\)	0,01	centième
\(10^{-3}\)	0,001	millième

Règle : \(10^n\) = 1 suivi de \(n\) zéros (si \(n > 0\)) ; \(10^{-n} = \dfrac{1}{10^n}\).

Règles de calcul avec les puissances de 10 :

\(10^a \times 10^b = 10^{a+b}\)
\(\dfrac{10^a}{10^b} = 10^{a-b}\)
\((10^a)^b = 10^{a \times b}\)

Exemples : \(10^3 \times 10^2 = 10^5 = 100\,000\) ; \(\dfrac{10^5}{10^2} = 10^3 = 1\,000\).

Définition — Écriture scientifique :
L'écriture scientifique d'un nombre est de la forme : \[\boxed{a \times 10^n}\] où \(1 \leqslant a < 10\) et \(n\) est un entier relatif.

Exemples :

\(45\,000 = 4{,}5 \times 10^4\)
\(0{,}0032 = 3{,}2 \times 10^{-3}\)
\(720 = 7{,}2 \times 10^2\)

Méthode — Écrire un nombre en écriture scientifique :

Placer la virgule après le premier chiffre non nul pour obtenir \(a\) (avec \(1 \leqslant a < 10\)).

Compter de combien de rangs la virgule a été déplacée : c'est la valeur de \(|n|\).

Si le nombre d'origine est grand (\(> 10\)), l'exposant \(n\) est positif. S'il est petit (\(< 1\)), \(n\) est négatif.

Exemple — Mesures en atelier :

Épaisseur d'une feuille de placage : 0,6 mm = \(0{,}0006\) m = \(6 \times 10^{-4}\) m.
Longueur d'un tuyau de chauffage : 15 m = \(1{,}5 \times 10^1\) m.
Volume d'une pièce : 45 m³ = \(4{,}5 \times 10^1\) m³ = \(4{,}5 \times 10^4\) litres.

5. Ordres de grandeur et arrondis

Définition — Ordre de grandeur :
L'ordre de grandeur d'un nombre est la puissance de 10 la plus proche de ce nombre. On l'obtient en arrondissant l'écriture scientifique.

Exemples :

\(4\,800 \approx 5 \times 10^3\), ordre de grandeur : \(10^4\) (car \(5 \geqslant 5\)).
\(320 = 3{,}2 \times 10^2\), ordre de grandeur : \(10^2\) (car \(3{,}2 < 5\)).
\(0{,}007 = 7 \times 10^{-3}\), ordre de grandeur : \(10^{-2}\) (car \(7 \geqslant 5\)).

Utilité de l'ordre de grandeur :
L'ordre de grandeur sert à :

Vérifier un résultat : si un calcul donne un résultat très éloigné de l'ordre de grandeur attendu, il y a probablement une erreur.
Estimer rapidement : « environ combien ? » avant de calculer précisément.

Définition — Arrondi :
Arrondir un nombre, c'est le remplacer par une valeur approchée plus simple.

Arrondi à l'unité : on regarde le chiffre des dixièmes. Si \(\geqslant 5\), on arrondit au-dessus.
Arrondi au dixième : on regarde le chiffre des centièmes.
Arrondi au centième : on regarde le chiffre des millièmes.

Exemple — Arrondis :
Soit le nombre \(3{,}4\underline{7}6\) :

Arrondi à l'unité : \(3\) (car \(4 < 5\)).
Arrondi au dixième : \(3{,}5\) (car \(7 \geqslant 5\)).
Arrondi au centième : \(3{,}48\) (car \(6 \geqslant 5\)).

Attention — Précision en situation professionnelle :

En menuiserie, on arrondit généralement au millimètre près.
En plomberie, les diamètres de tuyaux sont normalisés (12, 14, 16, 18, 22 mm...).
Pour un devis, on arrondit au centime d'euro près.

6. Conversions d'unités

Méthode — Convertir des unités de longueur :

km	hm	dam	m	dm	cm	mm

On décale la virgule d'un rang par colonne. Vers la droite = × 10. Vers la gauche = ÷ 10.

Exemples :

\(2{,}5\text{ m} = 250\text{ cm}\) (2 rangs vers la droite, × 100)
\(450\text{ mm} = 0{,}45\text{ m}\) (3 rangs vers la gauche, ÷ 1000)
\(1{,}2\text{ km} = 1\,200\text{ m}\) (3 rangs vers la droite, × 1000)

Conversions courantes en atelier :

De	Vers	Opération
m → cm		× 100
cm → m		÷ 100
m → mm		× 1 000
mm → m		÷ 1 000
L → mL		× 1 000
m³ → L		× 1 000
kg → g		× 1 000

Exemple — Calculs rapides en atelier :

Longueur d'un tasseau : 1,80 m = 180 cm = 1 800 mm.
Volume d'un seau : 10 L = 0,01 m³ = 10 000 cm³.
Masse d'un sac de ciment : 25 kg = 25 000 g.

Mini-exercice : Calcule \(3 + 4 \times 5 - 2\) en respectant les priorités.

Mini-exercice : Calcule \(\dfrac{2}{3} + \dfrac{1}{6}\).

Mini-exercice : Écris 84 500 en notation scientifique.

Mini-exercice : Un artisan mesure 3,472 m. Arrondi au centième (2 décimales).

Erreurs fréquentes à éviter

Confondre \(3^2\) et \(3 \times 2\) — \(3^2 = 3 \times 3 = 9\), pas \(6\).
Ne pas réduire au même dénominateur pour additionner des fractions — \(\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} = \dfrac{3}{6} + \dfrac{2}{6} = \dfrac{5}{6}\), pas \(\dfrac{2}{5}\).
Notation scientifique incorrecte — La partie décimale doit être entre 1 et 10 (non inclus). \(12 \times 10^3\) n'est pas une notation scientifique correcte (→ \(1{,}2 \times 10^4\)).

7. L'essentiel à retenir

À retenir :

Fractions : même dénominateur pour additionner ; on multiplie numérateur par numérateur et dénominateur par dénominateur.
Priorités : parenthèses d'abord, puis × et ÷, puis + et −.
Puissances de 10 : \(10^a \times 10^b = 10^{a+b}\). Exposant positif = grand nombre, négatif = petit nombre.
Écriture scientifique : \(a \times 10^n\) avec \(1 \leqslant a < 10\).
Ordre de grandeur : puissance de 10 la plus proche, pour vérifier un résultat.
Arrondi : regarder le chiffre suivant ; si \(\geqslant 5\), arrondir au-dessus.
Conversions : longueurs × 10 par rang, utiliser le tableau de conversion.