Fiche – Calculs numériques

Chapitre 7 | CAP | Mathématiques

🎯 Objectifs du chapitre cliquer pour développer

Effectuer des calculs avec nombres décimaux et fractionnaires
Utiliser les puissances de 10 et la notation scientifique
Maîtriser les priorités opératoires sur une calculatrice
Estimer et arrondir un résultat avec un nombre de chiffres significatifs adapté

L'essentiel :

Fractions : même dénominateur pour additionner ; multiplier numérateur par numérateur.
Priorités : parenthèses, puis × et ÷, puis + et −.
Puissances de 10 : \(10^a \times 10^b = 10^{a+b}\).
Écriture scientifique : \(a \times 10^n\) avec \(1 \leqslant a < 10\).

Fractions

Définition Fraction : \(\dfrac{a}{b}\) avec \(b \neq 0\). \(a\) = numérateur, \(b\) = dénominateur.

Opération	Règle
Addition (même dénom.)	\(\dfrac{a}{b} + \dfrac{c}{b} = \dfrac{a+c}{b}\)
Addition (dénom. diff.)	Mettre au même dénominateur, puis additionner
Multiplication	\(\dfrac{a}{b} \times \dfrac{c}{d} = \dfrac{a \times c}{b \times d}\)
Division	\(\dfrac{a}{b} \div \dfrac{c}{d} = \dfrac{a}{b} \times \dfrac{d}{c}\)

Méthode Additionner deux fractions

Vérifier si les dénominateurs sont égaux.
Si non, trouver un dénominateur commun.
Transformer chaque fraction.
Additionner les numérateurs et simplifier.

Priorités de calcul

Propriété Ordre des opérations :

Parenthèses : d'abord le contenu des parenthèses.
Puissances : exposants.
Multiplications et divisions : de gauche à droite.
Additions et soustractions : de gauche à droite.

Puissances de 10

Règle	Formule	Exemple
Produit	\(10^a \times 10^b = 10^{a+b}\)	\(10^3 \times 10^2 = 10^5\)
Quotient	\(\dfrac{10^a}{10^b} = 10^{a-b}\)	\(\dfrac{10^5}{10^2} = 10^3\)
Puissance de puissance	\((10^a)^b = 10^{a \times b}\)	\((10^2)^3 = 10^6\)

Propriété Repères : \(10^0 = 1\), exposant positif = grand nombre, exposant négatif = petit nombre.
\(10^{-n} = \dfrac{1}{10^n}\). Exemple : \(10^{-3} = 0{,}001\).

Écriture scientifique

Définition Écriture scientifique : \(a \times 10^n\) où \(1 \leqslant a < 10\) et \(n\) est un entier relatif.

Méthode Écrire en écriture scientifique

Placer la virgule après le premier chiffre non nul → c'est \(a\).
Compter le nombre de rangs de déplacement → c'est \(|n|\).
Nombre > 10 → \(n\) positif. Nombre < 1 → \(n\) négatif.

Exemples : \(45\,000 = 4{,}5 \times 10^4\) ; \(0{,}0032 = 3{,}2 \times 10^{-3}\) ; \(720 = 7{,}2 \times 10^2\)

Arrondis

Méthode Arrondir un nombre
Regarder le chiffre suivant la précision demandée : si \(\geqslant 5\), arrondir au-dessus ; sinon, garder tel quel.

Erreurs fréquentes

Attention

Fractions : \(\dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{4} \neq \dfrac{2}{7}\). Il faut le même dénominateur : \(\dfrac{4}{12} + \dfrac{3}{12} = \dfrac{7}{12}\).
Priorités : \(3 + 4 \times 5 = 23\) (et non 35). La multiplication est prioritaire.
Puissances : \(10^{-2} = 0{,}01\) (et non \(-100\)). L'exposant négatif donne un nombre petit, pas négatif.
Diviser par une fraction = multiplier par l'inverse.

Conversions courantes

Propriété

Conversion	Opération
m → cm	× 100
m → mm	× 1 000
mm → m	÷ 1 000
m³ → L	× 1 000
1 dm³	= 1 L