Calculer le périmètre et l'aire des figures usuelles
Calculer le volume des solides usuels (pavé, cylindre)
Utiliser le théorème de Pythagore
Résoudre des problèmes géométriques en contexte professionnel
1. Introduction — La géométrie dans les métiers
Situation professionnelle — Menuisier agenceur
Situation 1 — Découpe : Un menuisier doit découper une planche rectangulaire de 120 cm × 80 cm
pour fabriquer un panneau de fond d'armoire. Il doit calculer l'aire pour estimer la quantité de vernis nécessaire,
et le périmètre pour poser une baguette de finition.
Situation 2 — Plombier : Un plombier chauffagiste installe un ballon d'eau chaude cylindrique
de 50 cm de diamètre et 1,20 m de hauteur. Il doit calculer le volume du ballon pour vérifier sa capacité en litres.
Ces deux situations nécessitent des formules de géométrie : périmètres, aires et volumes.
2. Figures planes — Périmètres et aires
2.1 Les figures planes usuelles
Définition — Figures planes usuelles :
Les figures planes les plus courantes sont :
Cercle : ensemble des points situés à la même distance \(r\) (rayon) du centre.
2.2 Formules de périmètre
Formules des périmètres :
Figure
Formule
Carré de côté \(c\)
\(\mathcal{P} = 4c\)
Rectangle de longueur \(L\) et largeur \(\ell\)
\(\mathcal{P} = 2(L + \ell)\)
Cercle de rayon \(r\)
\(\mathcal{P} = 2\pi r\)
Triangle de côtés \(a\), \(b\), \(c\)
\(\mathcal{P} = a + b + c\)
Exemple — Baguette de finition :
Un menuisier pose une baguette autour d'un panneau rectangulaire de 120 cm × 80 cm.
\[\mathcal{P} = 2(120 + 80) = 2 \times 200 = 400\text{ cm} = 4\text{ m}\]
Il lui faut 4 m de baguette.
2.3 Formules d'aire
Formules des aires :
Figure
Formule
Carré de côté \(c\)
\(\mathcal{A} = c^2\)
Rectangle \(L \times \ell\)
\(\mathcal{A} = L \times \ell\)
Triangle de base \(b\) et hauteur \(h\)
\(\mathcal{A} = \dfrac{b \times h}{2}\)
Disque de rayon \(r\)
\(\mathcal{A} = \pi r^2\)
Exemple — Surface de vernis :
Panneau rectangulaire de 1,20 m × 0,80 m :
\[\mathcal{A} = 1{,}20 \times 0{,}80 = 0{,}96\text{ m}^2\]
Un pot de vernis couvre 10 m². Il faut \(\dfrac{0{,}96}{10} = 0{,}096\) pot, soit environ un dixième de pot (deux couches : \(2 \times 0{,}096 \approx 0{,}19\) pot).
Attention — Unités d'aire :
\(1\text{ m}^2 = 10\,000\text{ cm}^2\) (et non pas 100 cm² !)
Toujours convertir les longueurs dans la même unité avant de calculer l'aire.
Cylindre droit : 2 bases circulaires de rayon \(r\) et hauteur \(h\).
Boule : tous les points à la distance \(r\) (rayon) du centre.
Formules des volumes :
Solide
Formule
Cube d'arête \(a\)
\(V = a^3\)
Pavé droit \(L \times \ell \times h\)
\(V = L \times \ell \times h\)
Cylindre droit de rayon \(r\) et hauteur \(h\)
\(V = \pi r^2 h\)
Boule de rayon \(r\)
\(V = \dfrac{4}{3}\pi r^3\)
Exemple — Capacité d'un ballon d'eau chaude :
Cylindre de diamètre 50 cm (rayon \(r = 25\) cm = 0,25 m) et hauteur \(h = 1{,}20\) m :
\[V = \pi \times 0{,}25^2 \times 1{,}20 = \pi \times 0{,}0625 \times 1{,}20 = \pi \times 0{,}075 \approx 0{,}236\text{ m}^3\]
Conversion : \(0{,}236\text{ m}^3 = 236\text{ litres}\) (car \(1\text{ m}^3 = 1\,000\text{ L}\)).
Exemple — Volume d'un tiroir :
Un ébéniste fabrique un tiroir en forme de pavé droit : 40 cm × 30 cm × 12 cm.
\[V = 40 \times 30 \times 12 = 14\,400\text{ cm}^3 = 14{,}4\text{ dm}^3 = 14{,}4\text{ L}\]
On multiplie (ou divise) par \(1\,000\) à chaque changement d'unité de volume.
4. Théorème de Pythagore
Théorème de Pythagore :
Dans un triangle rectangle, le carré de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés :
\[\boxed{AB^2 = AC^2 + BC^2}\]
où \([AB]\) est l'hypoténuse (côté opposé à l'angle droit).
Méthode — Calculer une longueur avec Pythagore :
1
Vérifier que le triangle est rectangle. Repérer l'angle droit.
2
Identifier l'hypoténuse (le plus grand côté, opposé à l'angle droit).
3
Écrire l'égalité de Pythagore et isoler l'inconnue.
4
Calculer et prendre la racine carrée si nécessaire.
Exemple — Diagonale d'une planche :
Un menuisier vérifie l'équerrage d'une planche rectangulaire de 60 cm × 80 cm en mesurant la diagonale.
Le rectangle formé contient un triangle rectangle de côtés 60 cm et 80 cm :
\[d^2 = 60^2 + 80^2 = 3\,600 + 6\,400 = 10\,000\]
\[d = \sqrt{10\,000} = 100\text{ cm}\]
La diagonale mesure 100 cm. Si la mesure réelle correspond, la planche est bien d'équerre.
Réciproque du théorème de Pythagore :
Si dans un triangle \(ABC\), on a \(AB^2 = AC^2 + BC^2\), alors le triangle est rectangle en \(C\).
Utilité : vérifier qu'un angle est droit (contrôle d'équerrage sur un chantier).
5. Théorème de Thalès
Théorème de Thalès (dans le triangle) :
Si une droite est parallèle à un côté d'un triangle, alors elle découpe les deux autres côtés en segments proportionnels :
\[\frac{AM}{AB} = \frac{AN}{AC} = \frac{MN}{BC}\]
Méthode — Calculer une longueur avec Thalès :
1
Vérifier que les droites sont bien parallèles.
2
Écrire les rapports égaux (théorème de Thalès).
3
Utiliser un produit en croix pour calculer la longueur inconnue.
Exemple — Longueur inaccessible :
Sur un plan d'agencement, un triangle \(ABC\) est coupé par une droite parallèle à \((BC)\) passant par \(M\) et \(N\).
On sait que \(AM = 3\) cm, \(AB = 5\) cm et \(BC = 8\) cm. On cherche \(MN\).
\[\frac{MN}{BC} = \frac{AM}{AB} \quad \Longrightarrow \quad \frac{MN}{8} = \frac{3}{5} \quad \Longrightarrow \quad MN = \frac{3 \times 8}{5} = 4{,}8\text{ cm}\]
6. Symétrie
Définition — Symétrie axiale et centrale :
Symétrie axiale : le symétrique d'un point \(M\) par rapport à un axe \((d)\) est le point \(M'\) tel que \((d)\) est la médiatrice du segment \([MM']\).
Symétrie centrale : le symétrique d'un point \(M\) par rapport à un centre \(O\) est le point \(M'\) tel que \(O\) est le milieu de \([MM']\).
Propriétés de la symétrie :
La symétrie (axiale ou centrale) conserve :
les longueurs (les distances sont préservées) ;
les angles (les mesures d'angles sont préservées) ;
les aires.
Application : en menuiserie, la symétrie permet de reproduire un gabarit à l'identique (pièce droite et pièce gauche d'un meuble).