Chapitre 6 — Géométrie | CAP Ébéniste | Mathématiques | ⏱ 35 min
Dernière mise à jour : 7 mai 2026, format manuel scolaire
Inès, apprentie ébéniste à Lyon, fabrique un caisson de rangement sur mesure pour un client. Elle réalise le caisson en panneau de bois aggloméré, qu'elle plaque ensuite avec du chêne. Le maître d'apprentissage veut qu'elle vérifie l'équerrage de la caisse à la fin du montage avec une équerre 3-4-5.
On reporte 30 cm sur un côté, 40 cm sur l'autre côté, et on mesure la diagonale. Si elle vaut 50 cm exactement, l'angle est droit (Pythagore : $30^2 + 40^2 = 900 + 1600 = 2500 = 50^2$).
Calculer le volume utile du caisson en cm³ puis en L.
$V = L \times l \times h = 80 \times 40 \times 50 = $ 160 000 cm³.
Conversion : $160\,000 \,$cm³ = $160 \,$dm³ = 160 L.
Calculer la surface totale extérieure du caisson (6 faces). Soit la surface à plaquer.
Faces avant + arrière : $2 \times 80 \times 50 = 8\,000 \,$cm².
Faces gauche + droite : $2 \times 40 \times 50 = 4\,000 \,$cm².
Dessus + dessous : $2 \times 80 \times 40 = 6\,400 \,$cm².
Total : $8\,000 + 4\,000 + 6\,400 = 18\,400 \,$cm² = 1,84 m².
Le placage chêne coûte 32 €/m². Combien coûte le placage de l'extérieur du caisson, sachant que les chutes représentent 8 % ?
Surface réelle commandée : $1,84 \times 1,08 = 1,99 \,$m² → arrondir à 2 m².
Coût : $2 \times 32 = $ 64 €.
Pour vérifier l'équerrage, Inès reporte 30 cm sur un côté du plateau bas et 40 cm sur l'autre. Elle mesure la diagonale = 49,5 cm. Le caisson est-il d'équerre ? Justifier.
Si angle droit : $30^2 + 40^2 = 900 + 1\,600 = 2\,500$ → diagonale = $\sqrt{2\,500} = 50 \,$cm.
Mesurée : 49,5 cm. L'angle n'est PAS droit (écart 5 mm).
Inès doit reprendre l'équerrage : repousser un panneau de quelques mm jusqu'à obtenir 50 cm exact.
Quel angle obtient-on avec une diagonale de 49,5 cm au lieu de 50 cm ? Donner une indication intuitive (légèrement aigu, presque droit, très oblique…).
$49,5 < 50$ → le 3e côté est plus court que prévu → l'angle est légèrement aigu (< 90°).
Avec une calculatrice : angle ≈ 88,7°. Écart de ~1,3° : visible à l'œil sur une étagère ! Le caisson serait « tordu ».
Le client souhaite un caisson plus grand, à l'échelle. Si on multiplie chaque dimension par 1,2, par quel coefficient le volume est-il multiplié ? Et la surface de placage ?
Volume : ×$1,2^3 = $ ×1,728. Nouveau volume : $160 \times 1,728 \approx 277 \,$L.
Surface : ×$1,2^2 = $ ×1,44. Nouvelle surface : $1,84 \times 1,44 \approx 2,65 \,$m² (placage).
Quand on multiplie les dimensions par $k$ : surface ×$k^2$, volume ×$k^3$.
Inès doit fabriquer un second caisson identique dont la diagonale du plateau bas (de coin à coin) doit valoir exactement la même que le premier. Calculer cette diagonale (Pythagore avec $L = 80$ et $l = 40$).
$d = \sqrt{80^2 + 40^2} = \sqrt{6\,400 + 1\,600} = \sqrt{8\,000}$.
$d \approx 89,4 \,$cm.
C'est une mesure de référence pour vérifier que les 2 caissons sont rigoureusement identiques.
Rédiger en 5 lignes la fiche de fabrication du caisson avec les contrôles de cotes et d'équerrage.
Atelier Lyon — Fiche fabrication caisson · 7 mai 2026
• Cotes : 80 × 40 × 50 cm — volume utile 160 L, surface ext 1,84 m².
• Placage chêne : 2 m² commandés (chutes 8 %), coût 64 €.
• Contrôle équerrage : méthode 3-4-5 → diagonale doit valoir 50 cm.
• Diagonale plateau : $\sqrt{80^2 + 40^2} \approx 89,4$ cm (référence).
• Tolérance : ± 1 mm. Au-delà, redresser avant collage final.
Inès veut tracer une séparation interne oblique dans le caisson, de coin haut-gauche à coin bas-droit. Calculer la longueur de cette diagonale (la grande, en 3D : longueur 80, largeur 40, hauteur 50).
Diagonale 3D : $D = \sqrt{L^2 + l^2 + h^2} = \sqrt{80^2 + 40^2 + 50^2} = \sqrt{6\,400 + 1\,600 + 2\,500} = \sqrt{10\,500}$.
$D \approx $ 102,5 cm.
Application : pose d'un tirant de renfort en diagonale dans une grande caisse.
📚 Cette activité s'appuie sur §2 (Aires), §3 (Volumes), §4 (Pythagore) et §7 (Conversions) de la leçon Ch06.