Chapitre 5 – Fonctions

CAP | Mathématiques | Module 5

Dernière mise à jour : 28 mars 2026

Objectifs du chapitre :

Lire l'image et l'antécédent sur un graphique
Calculer l'image d'un nombre par une fonction donnée par une expression
Lire et compléter un tableau de valeurs
Reconnaître une fonction linéaire (et affine, en complément du programme)

1. Introduction — Les fonctions dans la vie courante

Situation professionnelle — Suivi de température

Situation 1 — Chauffagiste : Un installateur thermique met en service une chaudière. Il relève la température de l'eau toutes les 5 minutes pendant le préchauffage. À chaque instant \(t\) (en minutes), il associe une température \(T\) (en °C). C'est un exemple de fonction : à chaque valeur de \(t\), on associe une unique valeur de \(T\).

Situation 2 — Coût de production : Un ébéniste achète des planches de chêne à 12 € le mètre linéaire. Le coût total \(C\) dépend de la longueur \(x\) commandée : \(C(x) = 12x\). C'est une fonction linéaire.

2. Notion de fonction

Définition — Fonction :
Une fonction \(f\) est un procédé qui, à chaque nombre \(x\), associe un unique nombre noté \(f(x)\).

On note : \(f : x \longmapsto f(x)\)

Exemple : La fonction \(f\) définie par \(f(x) = 2x + 3\) associe à \(x = 4\) la valeur \(f(4) = 2 \times 4 + 3 = 11\).

Définition — Image et antécédent :

Le nombre \(f(x)\) est l'image de \(x\) par la fonction \(f\).
Le nombre \(x\) est un antécédent de \(f(x)\) par la fonction \(f\).

Exemple : Si \(f(x) = 3x - 1\), alors \(f(2) = 5\). On dit que 5 est l'image de 2, et que 2 est un antécédent de 5.

Attention — Un nombre peut avoir plusieurs antécédents !

Chaque nombre \(x\) a une seule image par \(f\).
Mais un nombre peut avoir zéro, un ou plusieurs antécédents.

3. Tableau de valeurs

Définition — Tableau de valeurs :
Un tableau de valeurs regroupe plusieurs valeurs de \(x\) et les images \(f(x)\) correspondantes.

Exemple — Température en fonction du temps :
Un chauffagiste relève la température d'un ballon d'eau chaude toutes les 10 minutes :

Temps \(t\) (min)	0	10	20	30	40	50	60
Temp. \(T\) (°C)	18	28	37	44	50	54	56

Ici, \(T\) est une fonction de \(t\). Par exemple : l'image de 20 est 37, donc \(T(20) = 37\,\)°C. L'antécédent de 50 est 40 min.

Méthode — Compléter un tableau de valeurs :

Identifier la formule de la fonction (si elle est donnée).

Remplacer \(x\) par chaque valeur du tableau.

Calculer l'image \(f(x)\) et la noter dans le tableau.

Exemple — Coût en fonction de la quantité :
Un fournisseur de vis facture \(C(x) = 0{,}05x + 4\) où \(x\) est le nombre de vis et 4 € le forfait de livraison.

\(x\) (nombre de vis)	0	50	100	200	500
\(C(x)\) (en €)	4	6,50	9	14	29

Par exemple : \(C(200) = 0{,}05 \times 200 + 4 = 10 + 4 = 14\) €.

4. Représentation graphique

Définition — Courbe représentative :
La courbe représentative d'une fonction \(f\) est l'ensemble des points de coordonnées \((x\,;\,f(x))\) placés dans un repère.

Chaque point \(M\) de la courbe a pour abscisse \(x\) et pour ordonnée \(f(x)\).

Méthode — Tracer une courbe représentative :

Compléter un tableau de valeurs (au moins 5 à 7 valeurs).

Choisir des axes gradués adaptés (unités, échelles).

Placer chaque point \((x\,;\,f(x))\) dans le repère.

Relier les points par une courbe lisse (sans angles).

Méthode — Lire une image ou un antécédent sur un graphique :

Lire l'image de \(a\) : partir de \(x = a\) sur l'axe horizontal, monter (ou descendre) jusqu'à la courbe, puis lire la valeur sur l'axe vertical. C'est \(f(a)\).
Lire un antécédent de \(b\) : partir de \(y = b\) sur l'axe vertical, aller horizontalement jusqu'à la courbe, puis lire la valeur sur l'axe horizontal.

Attention — Lecture graphique :

La lecture graphique donne des valeurs approchées (pas toujours exactes).
Un antécédent peut ne pas exister, ou il peut y en avoir plusieurs (la droite horizontale coupe la courbe en 0, 1 ou plusieurs points).

5. Variations d'une fonction

Définition — Fonction croissante, fonction décroissante :
Sur un intervalle \([a\,;\,b]\) :

Une fonction est croissante si, lorsque \(x\) augmente, \(f(x)\) augmente aussi. La courbe « monte ».
Une fonction est décroissante si, lorsque \(x\) augmente, \(f(x)\) diminue. La courbe « descend ».

Définition — Tableau de variations :
Le tableau de variations résume le sens de variation d'une fonction sur chaque intervalle :

Une flèche \(\nearrow\) indique que la fonction est croissante.
Une flèche \(\searrow\) indique que la fonction est décroissante.

Exemple — Température dans un local :
Un technicien de maintenance énergétique observe la température d'un local au cours de la journée :

De 6h à 14h : la température augmente de 14°C à 26°C → fonction croissante sur \([6\,;\,14]\).
De 14h à 22h : la température diminue de 26°C à 18°C → fonction décroissante sur \([14\,;\,22]\).

Le maximum est 26°C, atteint à 14h.

Méthode — Décrire les variations d'une fonction à partir d'un graphique :

Repérer les intervalles où la courbe « monte » (croissante) et « descend » (décroissante).

Identifier les valeurs de \(x\) où le sens change (maximums, minimums).

Compléter le tableau de variations avec les flèches \(\nearrow\) ou \(\searrow\).

6. Fonction linéaire

Définition — Fonction linéaire :
Une fonction linéaire est une fonction de la forme : \[f(x) = ax\] où \(a\) est un nombre réel non nul appelé coefficient.

La fonction linéaire traduit une situation de proportionnalité : le coefficient \(a\) est le coefficient de proportionnalité.

Propriétés de la fonction linéaire :

Sa courbe représentative est une droite passant par l'origine \(O(0\,;\,0)\).
Si \(a > 0\), la fonction est croissante (droite qui monte).
Si \(a < 0\), la fonction est décroissante (droite qui descend).
Le coefficient \(a\) représente la pente de la droite.

Exemple — Coût proportionnel :
Un menuisier achète des tasseaux à 2,50 € le mètre. Le coût total est : \[C(x) = 2{,}50\,x\]

\(x\) (en m)	0	1	2	4	10
\(C(x)\) (en €)	0	2,50	5,00	10,00	25,00

C'est une fonction linéaire de coefficient \(a = 2{,}50\). Sa représentation graphique est une droite passant par l'origine.

Méthode — Vérifier qu'une fonction est linéaire :

À partir d'un tableau : calculer \(\dfrac{f(x)}{x}\) pour chaque valeur. Si le rapport est toujours le même, la fonction est linéaire et ce rapport est \(a\).

À partir d'un graphique : vérifier que la courbe est une droite passant par l'origine.

À partir d'une formule : vérifier qu'elle s'écrit \(f(x) = ax\) (pas de terme constant ajouté).

Attention — Linéaire ≠ affine :

\(f(x) = 3x\) est une fonction linéaire (passe par l'origine, proportionnalité).
\(g(x) = 3x + 5\) est une fonction affine (ne passe PAS par l'origine, pas de proportionnalité).

Mini-exercice : Soit \(f(x) = 2x + 7\). Calcule f(0), f(3) et f(10).

Mini-exercice : Le coût de location d'une scie est C(h) = 15h + 30. Calcule C(4). Que représente C(0) ?

Mini-exercice : La fonction f(x) = 5x est-elle croissante ou décroissante ? Justifie.

Erreurs fréquentes à éviter

Confondre image et antécédent — f(3) = 12 : l'image de 3 est 12. L'antécédent de 12 est 3.
Lire le graphique à l'envers — Pour trouver f(x), on part de l'axe des x et on lit sur l'axe y. Pour l'antécédent, on fait l'inverse.
Dire qu'une droite qui monte est « positive » — Elle est croissante, pas « positive ». Le signe fait référence aux valeurs, pas au sens de variation.

7. L'essentiel à retenir

À retenir :

Une fonction associe à chaque nombre \(x\) une unique image \(f(x)\).
Image : on connaît \(x\), on calcule \(f(x)\). Antécédent : on connaît \(f(x)\), on cherche \(x\).
Un tableau de valeurs regroupe des couples \((x\,;\,f(x))\).
La courbe représentative est l'ensemble des points \((x\,;\,f(x))\) dans un repère.
Une fonction est croissante si la courbe monte, décroissante si elle descend.
La fonction linéaire \(f(x) = ax\) traduit la proportionnalité. Sa courbe est une droite passant par l'origine.