Fiche – Fonctions

Chapitre 5 | CAP | Mathématiques

🎯 Objectifs du chapitre cliquer pour développer

Lire l'image et l'antécédent sur un graphique
Calculer l'image d'un nombre par une fonction donnée par une expression
Lire et compléter un tableau de valeurs
Reconnaître une fonction linéaire (et affine, en complément du programme)

L'essentiel :

Une fonction associe à chaque nombre \(x\) une unique image \(f(x)\).
Image : on connaît \(x\), on calcule \(f(x)\). Antécédent : on connaît \(f(x)\), on cherche \(x\).
Courbe qui monte = fonction croissante. Courbe qui descend = fonction décroissante.
Fonction linéaire \(f(x) = ax\) : proportionnalité, droite passant par l'origine.

Définitions

Définition Fonction : procédé qui, à chaque nombre \(x\), associe un unique nombre \(f(x)\).
Notation : \(f : x \longmapsto f(x)\).

Définition Image : \(f(x)\) est l'image de \(x\) par \(f\).
Antécédent : \(x\) est un antécédent de \(f(x)\) par \(f\).

Définition Croissante : quand \(x\) augmente, \(f(x)\) augmente (courbe monte).
Décroissante : quand \(x\) augmente, \(f(x)\) diminue (courbe descend).

Définition Fonction linéaire : \(f(x) = ax\) où \(a\) est le coefficient (de proportionnalité).
Sa courbe est une droite passant par l'origine.

Formules

Fonction linéaire : \[f(x) = ax\]

\(a > 0\) → croissante (droite qui monte). \(a < 0\) → décroissante (droite qui descend).

Méthodes

Méthode Lire une image sur un graphique

Partir de \(x = a\) sur l'axe horizontal.
Monter (ou descendre) jusqu'à la courbe.
Lire la valeur sur l'axe vertical : c'est \(f(a)\).

Méthode Lire un antécédent sur un graphique

Partir de \(y = b\) sur l'axe vertical.
Aller horizontalement jusqu'à la courbe.
Lire la valeur sur l'axe horizontal.

Méthode Décrire les variations d'une fonction

Repérer où la courbe monte (\(\nearrow\) croissante) et descend (\(\searrow\) décroissante).
Identifier les valeurs de \(x\) où le sens change (max, min).
Compléter le tableau de variations.

Méthode Vérifier qu'une fonction est linéaire

À partir d'un tableau : calculer \(\frac{f(x)}{x}\) pour chaque valeur. Si le rapport est constant, c'est linéaire.
À partir d'un graphique : vérifier que c'est une droite passant par l'origine.

Erreurs fréquentes

Attention

Un nombre a une seule image, mais peut avoir plusieurs antécédents (ou aucun).
La lecture graphique donne des valeurs approchées, pas toujours exactes.
Ne pas confondre linéaire (\(f(x) = ax\), passe par l'origine) et affine (\(f(x) = ax + b\), ne passe pas par l'origine si \(b \neq 0\)).