CAP | Exercices | Module 5
Dernière mise à jour : 21 octobre 2026
Soit la fonction \(f\) définie par \(f(x) = 3x - 5\).
Calculer :
a) \(f(0)\) b) \(f(2)\) c) \(f(4)\) d) \(f(-1)\) e) \(f(10)\)
a) \(f(0) = 3 \times 0 - 5 = -5\)
b) \(f(2) = 3 \times 2 - 5 = 6 - 5 = 1\)
c) \(f(4) = 3 \times 4 - 5 = 12 - 5 = 7\)
d) \(f(-1) = 3 \times (-1) - 5 = -3 - 5 = -8\)
e) \(f(10) = 3 \times 10 - 5 = 30 - 5 = 25\)
Soit \(g(x) = 2x + 1\).
a) Calculer l'image de 3 par \(g\).
b) Calculer l'image de \(-2\) par \(g\).
c) Quel est l'antécédent de 9 par \(g\) ? (Résoudre \(g(x) = 9\).)
d) Quel est l'antécédent de \(-5\) par \(g\) ?
a) \(g(3) = 2 \times 3 + 1 = 7\). L'image de 3 est 7.
b) \(g(-2) = 2 \times (-2) + 1 = -4 + 1 = -3\). L'image de \(-2\) est \(-3\).
c) On résout \(2x + 1 = 9\), soit \(2x = 8\), donc \(x = 4\). L'antécédent de 9 est 4.
d) On résout \(2x + 1 = -5\), soit \(2x = -6\), donc \(x = -3\). L'antécédent de \(-5\) est \(-3\).
Un plombier chauffagiste achète des tuyaux de cuivre à 8 € le mètre. Le coût total en euros est donné par la fonction \(C(x) = 8x\) où \(x\) est la longueur en mètres.
a) Calculer le coût pour 3 m de tuyau.
b) Calculer le coût pour 12,5 m de tuyau.
c) Le plombier a dépensé 60 €. Quelle longueur de tuyau a-t-il achetée ?
d) Quelle est l'image de 7 par la fonction \(C\) ? Interpréter.
a) \(C(3) = 8 \times 3 = 24\) €.
b) \(C(12{,}5) = 8 \times 12{,}5 = 100\) €.
c) On résout \(8x = 60\), soit \(x = \dfrac{60}{8} = 7{,}5\) m. Il a acheté 7,5 m de tuyau.
d) \(C(7) = 8 \times 7 = 56\). L'image de 7 est 56. Cela signifie que 7 m de tuyau coûtent 56 €.
Un ébéniste commande des planches de chêne. Le fournisseur facture un forfait de livraison de 15 € plus 6 € par mètre de planche. Le coût total est donné par \(C(x) = 6x + 15\).
a) Calculer le coût pour 10 m de planches.
b) Calculer le coût pour 25 m de planches.
c) Le budget de l'ébéniste est de 100 €. Quelle longueur maximale peut-il commander ?
a) \(C(10) = 6 \times 10 + 15 = 60 + 15 = 75\) €.
b) \(C(25) = 6 \times 25 + 15 = 150 + 15 = 165\) €.
c) On résout \(6x + 15 = 100\), soit \(6x = 85\), donc \(x = \dfrac{85}{6} \approx 14{,}17\) m. Il peut commander au maximum 14 m de planches (en arrondissant à l'entier inférieur).
Soit \(f(x) = 4x - 2\). Compléter le tableau de valeurs suivant :
| \(x\) | 0 | 1 | 2 | 3 | 5 | 10 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| \(f(x)\) | ... | ... | ... | ... | ... | ... |
| \(x\) | 0 | 1 | 2 | 3 | 5 | 10 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| \(f(x)\) | \(-2\) | 2 | 6 | 10 | 18 | 38 |
Détail : \(f(0) = -2\) ; \(f(1) = 4-2 = 2\) ; \(f(2) = 8-2 = 6\) ; \(f(3) = 12-2 = 10\) ; \(f(5) = 20-2 = 18\) ; \(f(10) = 40-2 = 38\).
Un installateur thermique met en service un ballon d'eau chaude. Il relève la température de l'eau toutes les 15 minutes :
| Temps \(t\) (min) | 0 | 15 | 30 | 45 | 60 | 75 | 90 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Temp. \(T\) (°C) | 15 | 27 | 38 | 47 | 53 | 57 | 59 |
a) Quelle est l'image de 30 par la fonction \(T\) ? Interpréter.
b) Quel est l'antécédent de 53 ? Interpréter.
c) La température de 40 °C est-elle atteinte ? Si oui, entre quels instants ?
d) La fonction \(T\) est-elle croissante ou décroissante sur l'intervalle \([0\,;\,90]\) ? Justifier.
a) L'image de 30 est 38. Cela signifie qu'après 30 min, la température de l'eau est de 38 °C.
b) L'antécédent de 53 est 60. Cela signifie que la température atteint 53 °C au bout de 60 min.
c) Oui, 40 °C est atteinte entre 30 min (38 °C) et 45 min (47 °C).
d) La fonction \(T\) est croissante sur \([0\,;\,90]\) car la température augmente à chaque relevé (15 < 27 < 38 < 47 < 53 < 57 < 59).
La distance de freinage \(d\) (en mètres) d'une voiture sur route sèche en fonction de sa vitesse \(v\) (en km/h) est donnée dans le tableau :
| Vitesse \(v\) (km/h) | 30 | 50 | 70 | 90 | 110 | 130 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Distance \(d\) (m) | 6 | 17 | 33 | 54 | 80 | 112 |
a) Quelle est la distance de freinage à 90 km/h ?
b) À quelle vitesse la distance de freinage est-elle de 33 m ?
c) La fonction \(d\) est-elle croissante ou décroissante ? Interpréter.
d) La distance de freinage est-elle proportionnelle à la vitesse ? Justifier.
a) À 90 km/h, la distance de freinage est de 54 m.
b) La distance de freinage est de 33 m à 70 km/h.
c) La fonction est croissante : plus la vitesse augmente, plus la distance de freinage est grande. C'est logique : plus on roule vite, plus il faut de distance pour s'arrêter.
d) Non, la distance n'est pas proportionnelle à la vitesse. Vérification : \(\dfrac{6}{30} = 0{,}2\) mais \(\dfrac{17}{50} = 0{,}34\). Les rapports ne sont pas constants.
On donne la représentation graphique d'une fonction \(f\) définie sur \([0\,;\,8]\). La courbe passe par les points suivants : \((0\,;\,1)\), \((1\,;\,3)\), \((2\,;\,4)\), \((3\,;\,4)\), \((4\,;\,3)\), \((5\,;\,1)\), \((6\,;\,0)\), \((7\,;\,1)\), \((8\,;\,3)\).
En utilisant ces informations :
a) Quelle est l'image de 2 ?
b) Quelle est l'image de 5 ?
c) Quels sont les antécédents de 3 ?
d) Quels sont les antécédents de 1 ?
e) Le nombre 5 a-t-il un antécédent ? Justifier.
a) L'image de 2 est 4 (on lit \(f(2) = 4\)).
b) L'image de 5 est 1 (on lit \(f(5) = 1\)).
c) Les antécédents de 3 sont 1, 4 et 8 (les points où \(f(x) = 3\)).
d) Les antécédents de 1 sont 0, 5 et 7 (les points où \(f(x) = 1\)).
e) Non, 5 n'a pas d'antécédent car la courbe ne monte jamais jusqu'à l'ordonnée 5 (le maximum est 4).
Un technicien de maintenance énergétique observe la température d'un local au cours de la journée. La fonction \(T\) donne la température en °C en fonction de l'heure \(h\) (de 6h à 22h). Les relevés donnent :
| \(h\) | 6 | 8 | 10 | 12 | 14 | 16 | 18 | 20 | 22 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(T(h)\) (°C) | 14 | 17 | 20 | 23 | 25 | 24 | 21 | 18 | 15 |
a) Quelle est la température à 10h ? À 18h ?
b) À quelle(s) heure(s) la température vaut-elle 18 °C ?
c) Sur quel(s) intervalle(s) la fonction est-elle croissante ? Décroissante ?
d) Quelle est la température maximale ? À quelle heure est-elle atteinte ?
a) \(T(10) = 20\) °C et \(T(18) = 21\) °C.
b) La température vaut 18 °C à deux moments : entre 8h et 10h (environ 9h), et à 20h exactement.
c) La fonction est croissante sur \([6\,;\,14]\) (la température augmente) et décroissante sur \([14\,;\,22]\) (la température diminue).
d) La température maximale est 25 °C, atteinte à 14h.
Un ébéniste applique un vernis sur un meuble. La dureté du film de vernis (notée \(D\), en unités arbitraires) évolue en fonction du temps \(t\) (en heures) :
| \(t\) (h) | 0 | 1 | 2 | 4 | 6 | 8 | 12 | 24 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(D(t)\) | 0 | 2 | 5 | 12 | 18 | 22 | 24 | 25 |
a) Quelle est la dureté après 4 heures ?
b) Au bout de combien d'heures la dureté dépasse-t-elle 20 ?
c) La fonction \(D\) est-elle croissante sur \([0\,;\,24]\) ? Justifier.
d) Un menuisier peut manipuler la pièce quand \(D \geqslant 18\). Au bout de combien d'heures peut-il manipuler le meuble ?
a) \(D(4) = 12\). Après 4 heures, la dureté est de 12.
b) La dureté dépasse 20 entre 6h (\(D = 18\)) et 8h (\(D = 22\)), soit vers 7 heures environ.
c) Oui, la fonction est croissante car les valeurs de \(D\) augmentent à chaque relevé : \(0 < 2 < 5 < 12 < 18 < 22 < 24 < 25\).
d) Il faut \(D \geqslant 18\), ce qui est atteint à partir de \(t = 6\) heures. Il peut manipuler le meuble au bout de 6 heures.
La consommation mensuelle de gaz (en m³) d'un immeuble en fonction du mois est donnée ci-dessous :
| Mois | Jan | Fév | Mar | Avr | Mai | Juin | Juil | Août | Sep | Oct | Nov | Déc |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(C\) (m³) | 350 | 320 | 250 | 150 | 80 | 30 | 10 | 10 | 50 | 180 | 280 | 340 |
a) Pendant quel mois la consommation est-elle maximale ? Minimale ?
b) Sur quels mois la consommation est-elle décroissante ?
c) Sur quels mois la consommation est-elle croissante ?
d) Interpréter l'allure générale de la courbe (pourquoi cette forme ?).
a) Maximum en janvier (350 m³). Minimum en juillet et août (10 m³).
b) La consommation est décroissante de janvier à juillet (350 → 10).
c) La consommation est croissante d'août à décembre (10 → 340).
d) La consommation suit les saisons : élevée en hiver (chauffage nécessaire), très faible en été (pas de chauffage). Le gaz sert principalement au chauffage.
La courbe représentative d'une fonction \(f\) définie sur \([0\,;\,10]\) passe par les points suivants :
\((0\,;\,2)\), \((2\,;\,6)\), \((4\,;\,8)\), \((6\,;\,8)\), \((8\,;\,5)\), \((10\,;\,1)\).
a) Compléter le tableau de variations de \(f\) en indiquant les intervalles de croissance et de décroissance.
b) Quelle est la valeur maximale de \(f\) ? Pour quelle(s) valeur(s) de \(x\) est-elle atteinte ?
c) Quelle est la valeur minimale de \(f\) ? Pour quelle valeur de \(x\) ?
a) \(f\) est croissante sur \([0\,;\,4]\) (de 2 à 8), constante sur \([4\,;\,6]\) (valeur 8), et décroissante sur \([6\,;\,10]\) (de 8 à 1).
b) La valeur maximale est 8, atteinte pour \(x = 4\) et \(x = 6\) (et tous les \(x\) entre 4 et 6).
c) La valeur minimale est 1, atteinte pour \(x = 10\).
Parmi les fonctions suivantes, lesquelles sont linéaires ? Justifier.
a) \(f(x) = 5x\) b) \(g(x) = 3x + 2\) c) \(h(x) = -4x\) d) \(k(x) = x^2\) e) \(m(x) = \dfrac{x}{3}\)
a) \(f(x) = 5x\) : oui, linéaire de coefficient \(a = 5\).
b) \(g(x) = 3x + 2\) : non, c'est une fonction affine (il y a un terme constant +2).
c) \(h(x) = -4x\) : oui, linéaire de coefficient \(a = -4\).
d) \(k(x) = x^2\) : non, ce n'est pas de la forme \(ax\).
e) \(m(x) = \dfrac{x}{3}\) : oui, car \(\dfrac{x}{3} = \dfrac{1}{3}x\), linéaire de coefficient \(a = \dfrac{1}{3}\).
Un plombier chauffagiste facture ses interventions 45 € de l'heure (sans frais de déplacement).
a) Écrire la fonction \(P\) qui donne le prix en fonction du nombre d'heures \(x\).
b) Est-ce une fonction linéaire ? Justifier.
c) Compléter le tableau de valeurs :
| \(x\) (h) | 0 | 1 | 2 | 3 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|
| \(P(x)\) (€) | ... | ... | ... | ... | ... |
d) Quel est le coefficient de proportionnalité ? Que représente-t-il ?
a) \(P(x) = 45x\).
b) Oui, c'est une fonction linéaire de la forme \(f(x) = ax\) avec \(a = 45\). Il y a proportionnalité entre le temps et le prix.
c)
| \(x\) (h) | 0 | 1 | 2 | 3 | 5 |
|---|---|---|---|---|---|
| \(P(x)\) (€) | 0 | 45 | 90 | 135 | 225 |
d) Le coefficient de proportionnalité est \(a = 45\). Il représente le tarif horaire du plombier (45 €/h).
Un artisan menuisier vend des étagères sur mesure. Le tableau donne le prix en fonction de la longueur :
| Longueur \(x\) (m) | 0,5 | 1 | 1,5 | 2 | 3 |
|---|---|---|---|---|---|
| Prix (€) | 20 | 40 | 60 | 80 | 120 |
a) Calculer le rapport \(\dfrac{\text{Prix}}{x}\) pour chaque valeur. Que constate-t-on ?
b) En déduire que le prix est une fonction linéaire de la longueur. Donner son expression.
c) Quel serait le prix d'une étagère de 2,5 m ?
a) \(\dfrac{20}{0{,}5} = 40\) ; \(\dfrac{40}{1} = 40\) ; \(\dfrac{60}{1{,}5} = 40\) ; \(\dfrac{80}{2} = 40\) ; \(\dfrac{120}{3} = 40\).
Le rapport est toujours égal à 40.
b) Le rapport constant confirme que c'est une fonction linéaire : \(P(x) = 40x\).
c) \(P(2{,}5) = 40 \times 2{,}5 = 100\) €.
Un fournisseur propose deux tarifs pour la livraison de sable :
a) Écrire la fonction \(A(x)\) et la fonction \(B(x)\) donnant le coût en fonction du nombre de tonnes \(x\).
b) Laquelle est une fonction linéaire ? Justifier.
c) Compléter le tableau pour chaque tarif :
| \(x\) (tonnes) | 1 | 2 | 5 | 10 |
|---|---|---|---|---|
| \(A(x)\) (€) | ... | ... | ... | ... |
| \(B(x)\) (€) | ... | ... | ... | ... |
d) À partir de combien de tonnes le tarif B devient-il plus avantageux ?
a) \(A(x) = 25x\) et \(B(x) = 20x + 30\).
b) \(A(x) = 25x\) est linéaire (forme \(ax\), pas de terme constant). \(B(x) = 20x + 30\) est affine (terme constant +30), donc pas linéaire.
c)
| \(x\) (tonnes) | 1 | 2 | 5 | 10 |
|---|---|---|---|---|
| \(A(x)\) (€) | 25 | 50 | 125 | 250 |
| \(B(x)\) (€) | 50 | 70 | 130 | 230 |
d) On résout \(A(x) = B(x)\) : \(25x = 20x + 30\), soit \(5x = 30\), donc \(x = 6\). À partir de 6 tonnes, le tarif B est plus avantageux (et au-delà, l'écart se creuse en faveur de B).
Pour chaque situation, déterminer le coefficient \(a\) de la fonction linéaire \(f(x) = ax\) :
a) \(f(3) = 12\)
b) \(f(5) = -15\)
c) La droite représentative passe par le point \((4\,;\,10)\).
d) 8 m de tuyau coûtent 52 €.
a) \(f(3) = 3a = 12\), donc \(a = \dfrac{12}{3} = 4\). La fonction est \(f(x) = 4x\).
b) \(f(5) = 5a = -15\), donc \(a = \dfrac{-15}{5} = -3\). La fonction est \(f(x) = -3x\).
c) Le point \((4\,;\,10)\) signifie \(f(4) = 10\), donc \(4a = 10\), soit \(a = 2{,}5\). La fonction est \(f(x) = 2{,}5x\).
d) \(f(8) = 52\), donc \(8a = 52\), soit \(a = \dfrac{52}{8} = 6{,}5\). Le prix au mètre est 6,50 €. La fonction est \(f(x) = 6{,}5x\).
Le rendement \(R\) (en %) d'une chaudière à condensation dépend de la température de retour de l'eau \(t\) (en °C). Les relevés donnent :
| \(t\) (°C) | 30 | 35 | 40 | 45 | 50 | 55 | 60 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(R\) (%) | 105 | 103 | 100 | 97 | 94 | 91 | 88 |
a) Quelle est l'image de 40 par la fonction \(R\) ? Interpréter.
b) Pour quelle température de retour le rendement est-il de 97 % ?
c) La fonction \(R\) est-elle croissante ou décroissante ? Interpréter.
d) Le rapport \(\dfrac{R(t)}{t}\) est-il constant ? La fonction est-elle linéaire ?
a) \(R(40) = 100\). Quand la température de retour est de 40 °C, le rendement est de 100 %.
b) Le rendement est de 97 % pour \(t = 45\) °C.
c) La fonction est décroissante : quand la température de retour augmente, le rendement diminue. Cela signifie que la chaudière à condensation est plus efficace avec une température de retour basse.
d) \(\dfrac{105}{30} = 3{,}5\) et \(\dfrac{103}{35} \approx 2{,}94\). Les rapports ne sont pas constants, donc la fonction n'est pas linéaire.
Un peintre en bâtiment utilise une peinture qui couvre 10 m² par litre. Le prix d'un litre est 8 €.
a) Écrire la fonction \(V(S)\) qui donne le volume de peinture (en litres) nécessaire pour peindre une surface \(S\) (en m²).
b) Est-ce une fonction linéaire ? Si oui, donner le coefficient.
c) Écrire la fonction \(C(S)\) qui donne le coût de la peinture en fonction de la surface.
d) Calculer le coût pour peindre une pièce de 35 m² (deux couches nécessaires).
a) \(V(S) = \dfrac{S}{10} = 0{,}1S\).
b) Oui, c'est une fonction linéaire de coefficient \(a = 0{,}1\).
c) \(C(S) = 8 \times V(S) = 8 \times 0{,}1S = 0{,}8S\). C'est aussi une fonction linéaire de coefficient 0,8.
d) Deux couches : surface à couvrir = \(2 \times 35 = 70\) m². Coût : \(C(70) = 0{,}8 \times 70 = 56\) €.
Une salle de sport propose deux formules :
On note \(x\) le nombre de séances dans le mois.
a) Écrire les fonctions \(F_1(x)\) et \(F_2(x)\) donnant le coût mensuel pour chaque formule.
b) Laquelle est une fonction linéaire ? Pourquoi ?
c) Compléter le tableau :
| \(x\) (séances) | 2 | 4 | 6 | 8 | 10 | 12 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| \(F_1(x)\) (€) | ... | ... | ... | ... | ... | ... |
| \(F_2(x)\) (€) | ... | ... | ... | ... | ... | ... |
d) Les deux formules coûtent le même prix pour combien de séances ?
e) Quelle formule conseiller à quelqu'un qui va 3 fois par semaine (12 séances/mois) ?
a) \(F_1(x) = 5x\) et \(F_2(x) = 2x + 20\).
b) \(F_1(x) = 5x\) est linéaire (forme \(ax\)). \(F_2\) est affine (+20).
c)
| \(x\) | 2 | 4 | 6 | 8 | 10 | 12 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| \(F_1(x)\) | 10 | 20 | 30 | 40 | 50 | 60 |
| \(F_2(x)\) | 24 | 28 | 32 | 36 | 40 | 44 |
d) On résout \(5x = 2x + 20\), soit \(3x = 20\), donc \(x \approx 6{,}7\). Les deux formules coûtent presque pareil pour 7 séances. Pour le vérifier : \(F_1(7) = 35\) € et \(F_2(7) = 34\) €.
e) Pour 12 séances : \(F_1 = 60\) € et \(F_2 = 44\) €. La formule 2 est nettement plus avantageuse (16 € d'économie).