Chapitre 5 — Fonctions | CAP SDG (Signalétique et Décors Graphiques) | Mathématiques | ⏱ 35 min
Dernière mise à jour : 7 mai 2026, format manuel scolaire
Sami, apprenti en signalétique chez « Couleurs Vives » à Marseille, gère le stock de vinyle adhésif au mètre. Il découpe sur sa traceuse vinyle de largeur fixe 60 cm, puis pose les visuels imprimés sur des vitrines. Pour anticiper ses commandes auprès du fournisseur, il veut savoir quelle longueur de vinyle est nécessaire pour différents chantiers.
| Longueur $L$ (m) | 0 | 1 | 2 | 5 | 10 | 15 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Aire $A$ (m²) | ? | ? | ? | ? | ? | ? |
| Coût $C$ (€) | ? | ? | ? | ? | ? | ? |
Échelle abscisse : 1 cm = 3 m. Échelle ordonnée : 1 cm = 30 €.
Exprimer l'aire $A(L)$ en fonction de la longueur $L$ (m). Est-ce une fonction linéaire ?
$A(L) = 0,60 \cdot L$ (m²).
C'est une fonction linéaire (passe par l'origine, $A(0) = 0$). Coefficient : 0,60.
Exprimer le coût $C(L)$ en fonction de la longueur. Compléter le tableau pour les 6 valeurs.
$C(L) = 9 \cdot L$ (€). Fonction linéaire de coefficient 9.
| $L$ (m) | 0 | 1 | 2 | 5 | 10 | 15 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| $A$ (m²) | 0 | 0,6 | 1,2 | 3 | 6 | 9 |
| $C$ (€) | 0 | 9 | 18 | 45 | 90 | 135 |
D'après le graphique fourni, lire graphiquement :
$L = 6$ m → $C(6) = 9 \times 6 = $ 54 € (lecture graphique).
$C = 90$ € → $L = \dfrac{90}{9} = $ 10 m.
Sami dispose d'un budget de 100 €. Quelle longueur maximale de vinyle peut-il commander ? À combien de m² cela correspond-il ?
$9L = 100$ → $L = \dfrac{100}{9} \approx 11,11 \,$m → en pratique 11 m (longueur entière).
Aire : $A = 0,60 \times 11 = 6,6 \,$m².
Coût réel : $9 \times 11 = 99 \,€$ (1 € de marge).
Pour un chantier donné, Sami a besoin de couvrir 4,2 m² de vitrine. Quelle longueur de vinyle doit-il commander, sachant qu'il prévoit 15 % de chutes ?
Longueur utile : $L_u = \dfrac{4,2}{0,60} = 7 \,$m.
Avec 15 % de chutes : $L = 7 \times 1,15 = 8,05 \,$m → arrondir à 8,5 m (sécurité).
Coût : $9 \times 8,5 = 76,50 \,€$.
Le fournisseur propose une remise volume : −10 % à partir de 20 m de vinyle. Quel est alors le coefficient de proportionnalité (€/m) ? Le coût reste-t-il une fonction linéaire ?
Avec remise : $C'(L) = 9 \times 0,90 \times L = 8,1 \cdot L$ (€).
C'est encore une fonction linéaire de coefficient 8,1 (au lieu de 9). La droite a une pente moins forte.
⚠️ La remise s'applique à partir de $L \geq 20 \,$m. Pour $L < 20 \,$m, la fonction reste $C(L) = 9L$. La fonction globale n'est donc plus linéaire (cassure à $L = 20$).
Sami doit couvrir un budget client de 200 €. Vaut-il mieux commander 22 m (avec remise) ou 22 m (sans remise) ? Quelle est l'économie ?
Sans remise : $9 \times 22 = 198 \,€$.
Avec remise (≥ 20 m) : $8,1 \times 22 = 178,20 \,€$.
Économie : $198 - 178,20 = $ 19,80 €, soit ~10 % comme prévu.
Sami a intérêt à commander en volume dès que le budget le permet.
Rédiger en 5 lignes la note de stock que Sami affiche sur le tableau de l'atelier pour aider les apprentis à anticiper les commandes.
Couleurs Vives Marseille — Note stock vinyle adhésif · 7 mai 2026
• Largeur : 60 cm — 1 mètre linéaire = 0,60 m².
• Coût : $C(L) = 9 L$ (€), proportionnel à la longueur.
• Remise volume : −10 % à partir de 20 m → coefficient 8,1 €/m.
• Estimation chantier : ajouter 15 % à la longueur utile (chutes).
• Astuce : grouper les commandes pour franchir 20 m → ~20 € d'économie par 22 m.
Le fournisseur propose maintenant un 2e palier : −20 % à partir de 50 m. Quel est le nouveau coefficient ? Pour quelles longueurs Sami a-t-il intérêt à commander 50 m d'un coup au lieu de 49 m ?
Coefficient à $\geq 50$ m : $9 \times 0,80 = 7,2 \,€/$m.
Coût pour 49 m (palier 1 à −10 %) : $8,1 \times 49 = 396,90 \,€$.
Coût pour 50 m (palier 2 à −20 %) : $7,2 \times 50 = 360 \,€$.
→ 50 m sont moins chers que 49 m ! C'est un effet contre-intuitif des paliers tarifaires : il faut toujours arrondir vers le haut.
📚 Cette activité s'appuie sur §3 (Tableau de valeurs), §4 (Représentation graphique) et §6 (Fonction linéaire) de la leçon Ch05.