Ch05 — Fonctions | CAP | Mathématiques | ⏱ 30 min
Dernière mise à jour : 6 mai 2026, format manuel scolaire
Une apprentie en signalétique découpe des plaques carrées de côté x cm. Elle doit étudier comment varient le périmètre P(x) = 4x et l'aire A(x) = x² selon x.
Compléter le tableau pour x = 1, 2, 3, 4, 5, 10.
| x | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 10 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| P(x) | 4 | 8 | 12 | 16 | 20 | 40 |
| A(x) | 1 | 4 | 9 | 16 | 25 | 100 |
P est-elle proportionnelle à x ? A ?
P(x)/x = 4 pour tous → P est proportionnelle (fonction linéaire).
A(x)/x = 1, 2, 3, 4, 5, 10... non constant → A n'est pas proportionnelle (fonction non linéaire).
Tracer P(x) et A(x) sur le même graphique pour x ∈ [0 ; 10].
P(x) : droite passant par l'origine, pente 4.
A(x) : parabole passant par l'origine, croissance accélérée. Les 2 courbes se croisent à x = 4 (P(4) = A(4) = 16).
Pour quelle valeur de x a-t-on P(x) = A(x) ?
4x = x² → x² − 4x = 0 → x(x − 4) = 0 → x = 0 ou x = 4.
(x = 0 trivial, sinon x = 4.)
Pour x > 4, qu'est-ce qui est plus grand : P ou A ?
A(x) > P(x) pour x > 4. L'aire croît plus vite que le périmètre.
Exemple : x = 10 : P = 40, A = 100. A est 2,5 fois plus grand.
Pour 80 cm de périmètre, calculer l'aire de la plaque carrée correspondante.
4x = 80 → x = 20 cm. A = 20² = 400 cm².
Si on double la dimension (passer de 20 à 40 cm de côté), de combien augmente le périmètre et l'aire (en %) ?
Périmètre : ×2 (+100 %). Aire : ×4 (+300 %).
L'aire est multipliée par 4 quand le côté est multiplié par 2 (carré du facteur).
Conclure sur les fonctions linéaires et non linéaires.
Linéaire ou non ?
• Périmètre P(x) = 4x : fonction linéaire (proportionnelle, droite).
• Aire A(x) = x² : fonction non linéaire (parabole, croissance accélérée).
• À partir de x = 4, A > P → croissance plus rapide.
• Doubler le côté multiplie l'aire par 4 (et non par 2 !).
Le volume d'un cube de côté x est V(x) = x³. Si on double x, par combien est multiplié V ?
V(2x) = (2x)³ = 8 x³ = 8 V(x). Volume × 8.
Loi générale : si dimension × k, surface × k², volume × k³.
📚 Cette activité s'appuie sur §2 (Fonctions affines) et §5 (Fonction carré) de la leçon Ch05.