Chapitre 5 — Fonctions | CAP Ébéniste | Mathématiques | ⏱ 35 min
Dernière mise à jour : 7 mai 2026, format manuel scolaire
Inès, apprentie ébéniste à Strasbourg, fabrique des tabourets en hêtre pour vendre sur les marchés. Elle veut connaître son coût de production exact pour fixer un prix de vente cohérent. L'atelier de son maître facture à Inès des frais fixes (loyer, électricité, machines amorties) et des frais variables (matière première, finition, vis).
| Nombre de tabourets $n$ | 0 | 5 | 10 | 15 | 20 | 30 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Coût total $C(n)$ (€) | ? | ? | ? | ? | ? | ? |
Sur le marché, Inès vend chaque tabouret à 40 € pièce. La recette mensuelle est donc $R(n) = 40 \cdot n$.
Exprimer la fonction coût total $C(n)$ (en €) en fonction du nombre $n$ de tabourets fabriqués.
$C(n) = 22 \cdot n + 120$.
C'est une fonction affine ($n \neq 0$ donne $b \neq 0$). Pas linéaire car coefficient $b = 120 \neq 0$.
Compléter le tableau de valeurs.
| $n$ | 0 | 5 | 10 | 15 | 20 | 30 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| $C(n)$ (€) | 120 | 230 | 340 | 450 | 560 | 780 |
Pour 25 tabourets, calculer $C(25)$ et $R(25)$. Inès gagne-t-elle ou perd-elle ?
$C(25) = 22 \times 25 + 120 = 550 + 120 = 670 \,€$.
$R(25) = 40 \times 25 = 1\,000 \,€$.
Bénéfice = $1\,000 - 670 = $ +330 €. Inès gagne de l'argent à 25 tabourets.
Tracer (mentalement ou sur cahier) les courbes de $C(n)$ et $R(n)$ pour $n$ entre 0 et 30. Que représente leur point d'intersection ?
Les deux droites se croisent au seuil de rentabilité : c'est le nombre de tabourets pour lesquels recette = coût (bénéfice nul).
Avant ce point, Inès est en perte ; après, en bénéfice.
Calculer ce seuil de rentabilité en résolvant $C(n) = R(n)$.
$22n + 120 = 40n$
$120 = 40n - 22n = 18n$
$n = \dfrac{120}{18} \approx 6,67$.
Inès doit vendre au moins 7 tabourets par mois pour être rentable. À 6 tabourets : perte ; à 7 : bénéfice de $7 \times 40 - (22 \times 7 + 120) = 280 - 274 = 6 \,€$.
Exprimer le bénéfice $B(n)$ en fonction de $n$. Est-ce une fonction linéaire, affine ou autre ?
$B(n) = R(n) - C(n) = 40n - (22n + 120) = 18n - 120$.
C'est une fonction affine de pente 18 (chaque tabouret rapporte 18 € de marge brute) et d'ordonnée à l'origine $-120$ (perte fixe).
Inès veut atteindre un bénéfice de 500 € par mois. Combien de tabourets doit-elle vendre ?
$B(n) = 500$ → $18n - 120 = 500$ → $18n = 620$ → $n = \dfrac{620}{18} \approx 34,4$.
Il faut vendre au moins 35 tabourets. Soit ~1 tabouret par jour ouvré sur 4 semaines.
Rédiger en 5 lignes la note d'analyse économique qu'Inès tient dans son cahier d'apprentie.
Atelier Strasbourg — Cahier d'apprentie Inès · 7 mai 2026
• Modèle économique : coût $C(n) = 22n + 120$ ; recette $R(n) = 40n$.
• Bénéfice : $B(n) = 18n - 120$ (fonction affine, pente 18 €/tabouret).
• Seuil de rentabilité : 7 tabourets par mois ($\approx 6,67$ exact).
• Objectif 500 €/mois : 35 tabourets à fabriquer (rythme 1/jour ouvré).
• Lever d'incertitude : trouver des marchés réguliers pour vendre plus de 35 tabourets.
Inès trouve un fournisseur de hêtre moins cher qui réduit le coût matière à 18 € par tabouret. Quel est le nouveau seuil de rentabilité ?
Nouveau coût : $C(n) = 18n + 120$. Nouveau bénéfice : $B(n) = 22n - 120$.
Seuil : $22n = 120$ → $n = \dfrac{120}{22} \approx 5,5$ → 6 tabourets.
Gain : 1 tabouret de moins par mois pour devenir rentable, et marge unitaire passe de 18 à 22 €.
📚 Cette activité s'appuie sur §3 (Tableau de valeurs), §6 (Fonction linéaire/affine) et application au coût de production de la leçon Ch05.