Chapitre 5 — Fonctions | CAP MIT (Métiers Installation Thermique) | Mathématiques | ⏱ 35 min
Dernière mise à jour : 7 mai 2026, format manuel scolaire
Karim, apprenti chauffagiste à Strasbourg, intervient chez un client qui se plaint de la lenteur de chauffe de son ballon d'eau chaude (ECS). Il branche un thermomètre dans le ballon et relève la température toutes les 15 minutes pour vérifier le bon fonctionnement de la résistance électrique de 3 kW.
| Temps t (min) | 0 | 15 | 30 | 45 | 60 | 75 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Température T (°C) | 15 | 23 | 31 | 39 | 47 | 55 |
Échelle : 1 cm = 15 min en abscisse, 1 cm = 15 °C en ordonnée.
Le ballon doit atteindre 60 °C en moins de 1 h 30 pour respecter la norme constructeur (3 kW, ballon 200 L).
D'après le tableau, quelle est l'image de $t = 30$ min ? Et l'antécédent de 47 °C ?
Image de 30 : $T(30) = $ 31 °C.
Antécédent de 47 : $t = $ 60 min.
Calculer l'augmentation de température entre $t = 0$ et $t = 75$ min. Quelle est l'augmentation par minute (taux d'évolution) ?
Augmentation totale : $55 - 15 = 40 \,$°C en 75 min.
Taux par minute : $\dfrac{40}{75} \approx $ 0,53 °C/min.
Vérification entre 0 et 15 min : $\dfrac{23-15}{15} = \dfrac{8}{15} \approx 0,53 \,$°C/min ✓ (constant → fonction affine).
La température T en fonction du temps $t$ peut s'écrire $T(t) = a \cdot t + b$ (fonction affine). Identifier $a$ (taux par minute) et $b$ (température initiale).
$a = \dfrac{8}{15} \approx 0,533$ °C/min (pente).
$b = 15$ °C (température au départ, $t = 0$).
Donc $T(t) = 0,533 \cdot t + 15$.
En utilisant la fonction $T(t) = 0,533 \cdot t + 15$, calculer la température prévue au bout de 90 min (1 h 30).
$T(90) = 0,533 \times 90 + 15 = 48 + 15 = $ 63 °C.
(Avec $a = 8/15$ exact : $T(90) = 8 \times 6 + 15 = 48 + 15 = 63 \,$°C.)
Au bout de combien de minutes la température atteint-elle 60 °C ? Résoudre $0,533 t + 15 = 60$.
$0,533 t = 60 - 15 = 45$ → $t = \dfrac{45}{0,533} \approx 84,4$ min.
Avec $a = 8/15$ : $\dfrac{8}{15} t = 45$ → $t = \dfrac{45 \times 15}{8} = \dfrac{675}{8} = $ 84,4 min ≈ 1 h 24.
Le ballon respecte-t-il la norme constructeur (60 °C en moins d'1 h 30) ?
1 h 30 = 90 min ; le ballon atteint 60 °C en 84,4 min. OUI, la norme est respectée (avec ~6 min de marge).
La résistance fonctionne correctement, l'isolation aussi (pas de perte excessive).
Le client se plaint pourtant que sa douche soit tiède. Quelle peut être l'origine du problème selon Karim, si la chauffe est conforme ?
Hypothèses :
La fonction T(t) est conforme : le problème n'est pas la chauffe mais l'usage ou le réglage.
Rédiger en 5 lignes le compte-rendu d'intervention de Karim pour son patron et le client.
ProThermie Strasbourg — Intervention ballon ECS · 7 mai 2026
• Mesures : 6 relevés sur 75 min, courbe linéaire de pente 0,53 °C/min.
• Modèle : $T(t) = 0,533 \cdot t + 15$ (chauffe régulière, conforme à un fonctionnement nominal).
• Estimation : 60 °C atteints en 84 min, < 1 h 30 (norme respectée).
• Diagnostic : ballon en bon état. Pb signalé probablement lié au thermostat ou usage.
• Recommandations : régler thermostat à 60 °C, vérifier mitigeur, sensibiliser le client à la consommation séquentielle.
Si Karim remplace la résistance par une plus puissante (4,5 kW au lieu de 3 kW), la pente est multipliée par 1,5. Quel sera le nouveau temps pour atteindre 60 °C ?
Nouvelle pente : $a' = 0,533 \times 1,5 = 0,8 \,$°C/min.
Équation : $0,8 t + 15 = 60$ → $0,8 t = 45$ → $t = $ 56,25 min ≈ 56 min.
Gain de temps : ~28 min. Mais consommation électrique +50 % par cycle de chauffe.
📚 Cette activité s'appuie sur §3 (Tableau de valeurs), §4 (Représentation graphique) et §6 (Fonction linéaire/affine) de la leçon Ch05.