Vérifier la cohérence d'une solution dans le contexte
1. Introduction — À quoi servent les équations ?
Situation professionnelle — Calcul de longueur
Un menuisier doit découper une planche de 2,40 m en 3 morceaux de même longueur,
avec un trait de scie de 3 mm entre chaque morceau. Quelle est la longueur de chaque morceau ?
Notons \(x\) la longueur d'un morceau (en m). Il y a 3 morceaux et 2 traits de scie (3 mm = 0,003 m).
PropriétéRègles fondamentales :
On peut transformer une équation sans changer sa solution en :
Ajoutant ou soustrayant le même nombre des deux côtés.
Multipliant ou divisant les deux côtés par un même nombre non nul.
Illustration : Pensez à une balance en équilibre.
Si on ajoute le même poids des deux côtés, la balance reste en équilibre.
Si on retire le même poids des deux côtés, elle reste aussi en équilibre.
4. Résoudre une équation du type \(ax + b = c\)
MéthodeRésoudre \(ax + b = c\)
1
Isoler le terme en \(x\) : soustraire \(b\) des deux côtés → \(ax = c - b\).
2
Isoler \(x\) : diviser les deux côtés par \(a\) → \(x = \dfrac{c - b}{a}\).
3
Vérifier : remplacer \(x\) par la valeur trouvée dans l'équation de départ.
Ne pas oublier de changer le signe quand on déplace un terme : si on a \(+3\) à gauche, on soustrait 3 des deux côtés (le 3 « passe à droite avec un moins »).
On divise par le coefficient de \(x\), pas par \(x\) lui-même.
Toujours vérifier en remplaçant dans l'équation de départ !
5. Résoudre une équation du type \(ax + b = cx + d\)
MéthodeRésoudre \(ax + b = cx + d\)
1
Regrouper les termes en \(x\) d'un côté et les nombres de l'autre.
2
Simplifier pour obtenir une équation du type \(Ax = B\).
3
Diviser par \(A\) et vérifier.
Exemple : Résoudre \(7x + 4 = 3x + 20\).
Étape 1 : On regroupe les \(x\) à gauche (soustraire \(3x\)) et les nombres à droite (soustraire 4).
\[7x - 3x = 20 - 4\]
\[4x = 16\]
Étape 2 : On divise par 4.
\[x = \frac{16}{4} = 4\]
Vérification :
Membre de gauche : \(7 \times 4 + 4 = 28 + 4 = 32\)
Membre de droite : \(3 \times 4 + 20 = 12 + 20 = 32\)
\(32 = 32\) ✓
6. Modéliser un problème par une équation
MéthodeRésoudre un problème avec une équation
1
Choisir l'inconnue : définir ce que représente \(x\) (avec son unité).
2
Traduire l'énoncé en une équation mathématique.
3
Résoudre l'équation.
4
Vérifier et rédiger la réponse avec l'unité.
Problème 1 — Coût d'un chantier :
Un installateur thermique facture 45 € de l'heure plus 80 € de déplacement.
Le client a payé 305 € au total. Combien d'heures a duré l'intervention ?
Étape 1 : Soit \(x\) le nombre d'heures d'intervention.
Étape 2 : Le coût total est \(45x + 80\). On sait qu'il vaut 305 €.
Problème 2 — Découpe de panneau :
Un ébéniste découpe un panneau de 120 cm de large en deux parties.
La partie gauche mesure 15 cm de plus que la partie droite.
Quelles sont les dimensions des deux parties ?
Étape 1 : Soit \(x\) la largeur de la partie droite (en cm).