Fiche – Équations du premier degré

Chapitre 4 | CAP | Mathématiques

🎯 Objectifs du chapitre cliquer pour développer

Tester si un nombre est solution d'une équation
Résoudre une équation du type ax + b = cx + d
Mettre en équation un problème simple
Vérifier la cohérence d'une solution dans le contexte

L'essentiel :

Une équation est une égalité avec une inconnue \(x\). La solution est la valeur qui vérifie l'égalité.
Résoudre \(ax + b = c\) : soustraire \(b\) puis diviser par \(a\) → \(x = \dfrac{c - b}{a}\).
On peut ajouter, soustraire, multiplier ou diviser les deux côtés par un même nombre (non nul pour la division).
Toujours vérifier en remplaçant \(x\) dans l'équation de départ.

Définitions

Définition Équation : égalité contenant un nombre inconnu (noté \(x\)).
Résoudre : trouver la valeur de \(x\) qui rend l'égalité vraie.
Solution : cette valeur de \(x\).

Propriétés

Propriété Règles fondamentales : on peut, sans changer la solution :

Ajouter ou soustraire le même nombre des deux côtés.
Multiplier ou diviser les deux côtés par un même nombre non nul.

Formules

Résolution de \(ax + b = c\) : \[ax = c - b \quad \Longrightarrow \quad x = \frac{c - b}{a}\]

Résolution de \(ax + b = cx + d\) : \[(a - c)x = d - b \quad \Longrightarrow \quad x = \frac{d - b}{a - c}\]

Méthodes

Méthode Résoudre \(ax + b = c\)

Isoler le terme en \(x\) : soustraire \(b\) des deux côtés → \(ax = c - b\).
Isoler \(x\) : diviser les deux côtés par \(a\) → \(x = \dfrac{c-b}{a}\).
Vérifier : remplacer \(x\) par la valeur trouvée.

Méthode Résoudre un problème avec une équation

Définir l'inconnue : que représente \(x\) (avec unité) ?
Traduire l'énoncé en équation.
Résoudre l'équation.
Vérifier et répondre avec l'unité.

Erreurs fréquentes

Attention

Changement de signe : quand un terme « passe de l'autre côté », il change de signe (\(+3\) à gauche → \(-3\) à droite).
On divise par le coefficient de \(x\), pas par \(x\) lui-même.
Ne jamais oublier la vérification : remplacer \(x\) dans l'équation de départ.

Exemple rapide

Résoudre \(5x + 3 = 28\) : \[5x = 28 - 3 = 25 \quad \Longrightarrow \quad x = \frac{25}{5} = 5\] Vérification : \(5 \times 5 + 3 = 25 + 3 = 28\) ✓