Équations du premier degré | CAP | Module 4
Vérifier si le nombre proposé est solution de l'équation.
a. \(3 \times 5 + 5 = 15 + 5 = 20\). Oui, \(20 = 20\) : \(x = 5\) est solution ✓
b. \(2 \times 8 - 7 = 16 - 7 = 9\). Oui, \(9 = 9\) : \(x = 8\) est solution ✓
c. \(4 \times 3 + 3 = 12 + 3 = 15\). Or \(15 \neq 19\) : \(x = 3\) n'est pas solution.
d. \(5 \times 4 - 2 = 20 - 2 = 18\). Oui, \(18 = 18\) : \(x = 4\) est solution ✓
Pour chaque équation, un seul des trois nombres proposés est la solution. Lequel ?
a. Test \(x = 5\) : \(2 \times 5 + 1 = 11\) ✓. La solution est \(x = 5\).
b. Test \(x = 4\) : \(3 \times 4 - 4 = 8\) ✓. La solution est \(x = 4\).
c. Test \(x = 4\) : \(7 \times 4 + 2 = 30\) ✓. La solution est \(x = 4\).
Résoudre les équations suivantes. Vérifier chaque solution.
a. \(2x + 3 = 15\) → \(2x = 15 - 3 = 12\) → \(x = \dfrac{12}{2} = 6\). Vérif : \(2 \times 6 + 3 = 15\) ✓
b. \(5x - 10 = 25\) → \(5x = 25 + 10 = 35\) → \(x = \dfrac{35}{5} = 7\). Vérif : \(5 \times 7 - 10 = 25\) ✓
c. \(4x + 7 = 31\) → \(4x = 31 - 7 = 24\) → \(x = \dfrac{24}{4} = 6\). Vérif : \(4 \times 6 + 7 = 31\) ✓
d. \(3x - 8 = 13\) → \(3x = 13 + 8 = 21\) → \(x = \dfrac{21}{3} = 7\). Vérif : \(3 \times 7 - 8 = 13\) ✓
Résoudre :
a. \(2x = 7{,}5 - 1{,}5 = 6\) → \(x = \dfrac{6}{2} = 3\). Vérif : \(2 \times 3 + 1{,}5 = 7{,}5\) ✓
b. \(3x = 5{,}4 + 0{,}6 = 6\) → \(x = \dfrac{6}{3} = 2\). Vérif : \(3 \times 2 - 0{,}6 = 5{,}4\) ✓
c. \(1{,}5x = 12 - 3 = 9\) → \(x = \dfrac{9}{1{,}5} = 6\). Vérif : \(1{,}5 \times 6 + 3 = 12\) ✓
Résoudre (la solution n'est pas toujours un nombre entier) :
a. \(4x = 11\) → \(x = \dfrac{11}{4} = 2{,}75\). Vérif : \(4 \times 2{,}75 + 5 = 16\) ✓
b. \(6x = 21\) → \(x = \dfrac{21}{6} = 3{,}5\). Vérif : \(6 \times 3{,}5 - 1 = 20\) ✓
c. \(8x = 7\) → \(x = \dfrac{7}{8} = 0{,}875\). Vérif : \(8 \times 0{,}875 + 3 = 10\) ✓
Résoudre les équations suivantes :
a. \(5x - 2x = 15 - 3\) → \(3x = 12\) → \(x = 4\). Vérif : G = \(5 \times 4 + 3 = 23\), D = \(2 \times 4 + 15 = 23\) ✓
b. \(8x - 3x = 16 + 4\) → \(5x = 20\) → \(x = 4\). Vérif : G = \(8 \times 4 - 4 = 28\), D = \(3 \times 4 + 16 = 28\) ✓
c. \(6x - 4x = 22 - 10\) → \(2x = 12\) → \(x = 6\). Vérif : G = \(6 \times 6 + 10 = 46\), D = \(4 \times 6 + 22 = 46\) ✓
d. \(9x - 4x = 20 + 5\) → \(5x = 25\) → \(x = 5\). Vérif : G = \(9 \times 5 - 5 = 40\), D = \(4 \times 5 + 20 = 40\) ✓
Résoudre :
a. \(3x - x = 7{,}5 - 1{,}5\) → \(2x = 6\) → \(x = 3\). Vérif : G = \(3 \times 3 + 1{,}5 = 10{,}5\), D = \(3 + 7{,}5 = 10{,}5\) ✓
b. \(4{,}5x - 1{,}5x = 11 - 2\) → \(3x = 9\) → \(x = 3\). Vérif : G = \(4{,}5 \times 3 + 2 = 15{,}5\), D = \(1{,}5 \times 3 + 11 = 15{,}5\) ✓
Un plombier chauffagiste facture 50 € de déplacement et 40 € par heure d'intervention. Le client a payé 210 €.
a. Coût total : \(40x + 50\). On sait que le client a payé 210 €, donc : \(40x + 50 = 210\).
b. \(40x = 210 - 50 = 160\) → \(x = \dfrac{160}{40} = 4\).
c. Vérification : \(40 \times 4 + 50 = 160 + 50 = 210\) € ✓. L'intervention a duré 4 heures.
Un menuisier découpe une planche de 180 cm en deux morceaux. Le premier morceau mesure 30 cm de plus que le second.
a. Premier morceau : \(x + 30\) cm.
b. \(x + (x + 30) = 180\) → \(2x + 30 = 180\) → \(2x = 150\) → \(x = 75\).
c. Second morceau : 75 cm. Premier morceau : \(75 + 30 =\) 105 cm. Vérification : \(75 + 105 = 180\) ✓
Un entraîneur achète des maillots à 15 € pièce et paie 12 € de frais de livraison. Il a payé 102 € au total.
a. \(15x + 12 = 102\).
b. \(15x = 102 - 12 = 90\) → \(x = \dfrac{90}{15} = 6\). L'entraîneur a acheté 6 maillots. Vérification : \(15 \times 6 + 12 = 102\) ✓
Un installateur thermique pose des radiateurs dans un logement. Chaque radiateur coûte 250 € (pose comprise), plus 120 € de frais fixes (déplacement + mise en service). Le devis total est de 1 370 €.
a. Soit \(x\) le nombre de radiateurs : \(250x + 120 = 1370\).
b. \(250x = 1370 - 120 = 1250\) → \(x = \dfrac{1250}{250} = 5\). Il y aura 5 radiateurs. Vérif : \(250 \times 5 + 120 = 1370\) ✓
Un ébéniste fabrique des tabourets. Chaque tabouret nécessite 4 pieds en bois de 45 cm et une assise. Il a un stock de 78 pieds.
a. \(4x = 78\).
b. \(x = \dfrac{78}{4} = 19{,}5\). On ne peut fabriquer qu'un nombre entier de tabourets : 19 tabourets.
c. Pieds utilisés : \(19 \times 4 = 76\). Reste : \(78 - 76 = 2\) pieds.
Un gâteau pèse 900 g. On le partage en deux parts : la grande part pèse le double de la petite.
a. Grande part : \(2x\).
b. \(x + 2x = 900\) → \(3x = 900\) → \(x = 300\).
c. Petite part : 300 g. Grande part : \(2 \times 300 =\) 600 g. Vérif : \(300 + 600 = 900\) ✓
Un installateur thermique compare deux fournisseurs de tuyaux :
a. Fournisseur A : \(8x + 20\). Fournisseur B : \(10x\).
b. \(8x + 20 = 10x\) → \(20 = 10x - 8x = 2x\) → \(x = 10\). Les deux coûtent le même prix pour 10 mètres. Vérif : A = \(8 \times 10 + 20 = 100\) €, B = \(10 \times 10 = 100\) € ✓
c. À partir de 11 mètres, le fournisseur A est moins cher. (Pour 11 m : A = 108 €, B = 110 €.)
Un rectangle a un périmètre de 54 cm. Sa longueur est le triple de sa largeur.
a. Longueur : \(3x\).
b. Périmètre : \(2 \times (x + 3x) = 54\) → \(2 \times 4x = 54\) → \(8x = 54\).
c. \(x = \dfrac{54}{8} = 6{,}75\). Largeur : 6,75 cm. Longueur : \(3 \times 6{,}75 =\) 20,25 cm. Vérif : \(2 \times (6{,}75 + 20{,}25) = 2 \times 27 = 54\) ✓
Un menuisier agenceur commande des panneaux de mélaminé. Le fournisseur facture 35 € par panneau et offre une remise fixe de 50 € sur la commande. Le menuisier a payé 300 €.
a. Soit \(x\) le nombre de panneaux : \(35x - 50 = 300\).
b. \(35x = 300 + 50 = 350\) → \(x = \dfrac{350}{35} = 10\). Il a commandé 10 panneaux. Vérif : \(35 \times 10 - 50 = 350 - 50 = 300\) ✓
Deux salles de sport proposent :
a. Salle A : \(5x + 20\). Salle B : \(8x\).
b. \(5x + 20 = 8x\) → \(20 = 3x\) → \(x = \dfrac{20}{3} \approx 6{,}7\). Les deux coûtent le même prix pour environ 6,7 séances (entre 6 et 7).
c. Pour 10 séances : A = \(5 \times 10 + 20 = 70\) €. B = \(8 \times 10 = 80\) €. La salle A est moins chère.
Un technicien chauffagiste doit réaliser deux types d'interventions dans la journée :
Il travaille 8 heures dans la journée et fait un déplacement entre chaque chaudière (y compris pour aller à la première et revenir de la dernière).
a. Nombre de déplacements : \(x + 1\) (un avant chaque chaudière + un retour).
b. \(1{,}5x + 0{,}5(x + 1) = 8\) → \(1{,}5x + 0{,}5x + 0{,}5 = 8\) → \(2x + 0{,}5 = 8\).
c. \(2x = 7{,}5\) → \(x = 3{,}75\). Le technicien ne peut réviser qu'un nombre entier de chaudières : 3 chaudières dans la journée. Vérif pour 3 : \(1{,}5 \times 3 + 0{,}5 \times 4 = 4{,}5 + 2 = 6{,}5\) h (il lui reste 1,5 h). Pour 4 : \(1{,}5 \times 4 + 0{,}5 \times 5 = 6 + 2{,}5 = 8{,}5\) h (dépasse 8 h). Il peut donc réviser 3 chaudières.