Ch04 — Équations 1er degré | CAP | Mathématiques | ⏱ 30 min
Dernière mise à jour : 6 mai 2026, format manuel scolaire
Hors programme — pour aller plus loin : au CAP, les systèmes d'équations se résolvent graphiquement ou avec un outil numérique. Les méthodes algébriques (substitution, combinaison) anticipent le Bac Pro.
Un sachet contient 50 pièces (vis et écrous) pour un total de 12,80 €. Une vis coûte 0,20 €, un écrou 0,30 €. Combien de vis et d'écrous ?
Notons x le nombre de vis et y le nombre d'écrous. Mettre en système.
{ x + y = 50 (nombre total) ; 0,20 x + 0,30 y = 12,80 (prix total) }.
Résoudre par substitution.
De la 1re : y = 50 − x. Substitution :
0,20 x + 0,30 (50 − x) = 12,80
0,20 x + 15 − 0,30 x = 12,80 → −0,10 x = −2,20 → x = 22 vis.
y = 50 − 22 = 28 écrous.
Vérifier la solution.
22 + 28 = 50 ✔
0,20 × 22 + 0,30 × 28 = 4,40 + 8,40 = 12,80 € ✔
Le client commande 200 sachets. Combien de vis au total ?
200 × 22 = 4 400 vis.
Autre sachet : 30 pièces, total 6,80 €. Composition ?
{ x + y = 30 ; 0,20 x + 0,30 y = 6,80 }. y = 30 − x → 0,20 x + 0,30(30 − x) = 6,80 → 9 − 0,10 x = 6,80 → x = 22 vis, y = 8 écrous.
Si on connaît seulement le total à payer (12,80 €) sans la quantité, peut-on déterminer x et y ? Pourquoi ?
Non : 1 équation à 2 inconnues a une infinité de solutions. Il faut au moins 2 informations indépendantes (autant d'équations que d'inconnues).
Résoudre : { 3x + 2y = 23 ; x − y = 1 }.
De la 2e : x = y + 1. Sub : 3(y + 1) + 2y = 23 → 5y = 20 → y = 4. x = 5.
Méthode pour résoudre un système 2×2.
Méthode système 2×2 (substitution)
1. Isoler une inconnue dans une équation (la plus simple).
2. Substituer dans l'autre équation.
3. Résoudre l'équation à 1 inconnue.
4. Calculer la 2e inconnue.
5. Vérifier dans les 2 équations originales.
Combiner les 2 méthodes : substitution + combinaison linéaire. Résoudre {2x + 3y = 16 ; 5x − 3y = 5} par combinaison.
Ajouter les 2 équations : 7x = 21 → x = 3. y = (16 − 6)/3 = 10/3.
📚 Cette activité s'appuie sur §4 (Systèmes 2×2) de la leçon Ch04.