Chapitre 4 — Équations du premier degré | CAP SDG (Signalétique et Décors Graphiques) | Mathématiques | ⏱ 35 min
Dernière mise à jour : 7 mai 2026, format manuel scolaire
Sami, apprenti en signalétique chez « Couleurs Vives » à Marseille, prépare une enseigne pour un cabinet d'avocats. Le client veut une enseigne avec son nom de cabinet en lettres découpées sur dibond (panneau aluminium-plastique). Sami a un budget client à respecter et un nombre de lettres à découper.
« SignéMédia » propose : forfait 240 € HT + 11 € HT par lettre. Pose comprise.
On note $x$ le nombre de lettres découpées. Exprimer le coût total HT chez « Couleurs Vives » en fonction de $x$.
Coût = forfait + lettres + pose = $180 + 15x + 120$.
En simplifiant : $15x + 300$ (en € HT).
Écrire l'équation qui traduit que le coût total est égal au budget de 720 € HT.
$15x + 300 = 720$.
Résoudre cette équation. Quelle est la valeur de $x$ ?
$15x + 300 = 720$
$15x = 420$
$x = \dfrac{420}{15} = $ 28 lettres.
Sami peut découper jusqu'à 28 lettres dans le budget client.
Le client demande l'inscription : « CABINET DURAND ASSOCIES » (espaces non comptés). Combien y a-t-il de lettres ? Le budget est-il respecté ?
Compter : C-A-B-I-N-E-T (7) + D-U-R-A-N-D (6) + A-S-S-O-C-I-E-S (8) = 21 lettres.
Coût : $15 \times 21 + 300 = 315 + 300 = $ 615 € HT. Budget OK (105 € de marge).
Comparer les deux entreprises pour $x = 21$ lettres. Quel est l'écart ?
Couleurs Vives : 615 € HT (calculé).
SignéMédia : $240 + 11 \times 21 = 240 + 231 = $ 471 € HT.
Écart : $615 - 471 = $ 144 € moins cher chez SignéMédia.
À partir de combien de lettres « Couleurs Vives » devient-il plus avantageux que « SignéMédia » ? Écrire l'équation et la résoudre.
On cherche $x$ tel que les coûts soient égaux : $15x + 300 = 11x + 240$.
$15x - 11x = 240 - 300$ → $4x = -60$ → $x = -15$.
Pas de solution positive : « Couleurs Vives » n'est jamais plus avantageux que « SignéMédia » dès lors qu'on a au moins 1 lettre. SignéMédia est toujours moins cher (lettres moins chères + forfait pose inclus).
Le patron de Sami décide de baisser le prix de la lettre à 10 € HT pour s'aligner. Quelle est désormais l'équation pour égalité, et le nombre de lettres ?
Nouvelle équation : $10x + 300 = 11x + 240$.
$10x - 11x = 240 - 300$ → $-x = -60$ → $x = $ 60 lettres.
Au-delà de 60 lettres, « Couleurs Vives » devient compétitif. En-dessous, SignéMédia reste moins cher.
Rédiger en 5 lignes la note d'analyse que Sami remet à son patron pour ajuster la grille tarifaire de « Couleurs Vives ».
Couleurs Vives Marseille — Analyse tarifaire enseigne lettres · 7 mai 2026
• Devis client cabinet Durand (21 lettres) : 615 € HT — dans le budget 720 €.
• Comparatif concurrence (SignéMédia) : 471 € HT, soit 144 € moins cher.
• Cause : nos lettres sont à 15 € contre 11 € + nous facturons la pose à part.
• Proposition : intégrer la pose au forfait fixe (300 € tout compris) et baisser la lettre à 10 €.
• Effet : nous redevenons compétitifs au-delà de 60 lettres (grandes enseignes).
Sami propose une option « lettrage rétroéclairé LED » à 8 € HT supplémentaires par lettre. Quel est le budget total pour 21 lettres rétroéclairées chez « Couleurs Vives » ?
Coût lettre + LED : $15 + 8 = 23 \,€$ par lettre.
Coût total : $23 \times 21 + 300 = 483 + 300 = $ 783 € HT. Budget 720 € dépassé de 63 €.
Sami doit soit négocier le budget, soit réduire le nombre de lettres : avec rétroéclairage, $x_{max}$ devient $\dfrac{720 - 300}{23} \approx 18$ lettres.
📚 Cette activité s'appuie sur §2 (Mise en équation), §3 (Résolution $ax + b = c$) et §4 (Comparaison $ax + b = cx + d$) de la leçon Ch04.