Chapitre 3 – Proportionnalité et pourcentages

CAP | Mathématiques | Module 3

Objectifs du chapitre :

Reconnaître une situation de proportionnalité
Compléter un tableau de proportionnalité
Calculer un pourcentage d'une quantité
Appliquer un taux d'évolution (augmentation, réduction)

1. Introduction — La proportionnalité au quotidien

Situation professionnelle — Devis en menuiserie

Un menuisier agenceur doit réaliser un devis pour la pose de plinthes dans un appartement. Les plinthes coûtent 4,80 € le mètre linéaire. L'appartement nécessite 35 m de plinthes.

Quel est le coût total des plinthes ?

\[\text{Prix} = 4{,}80 \times 35 = 168\,\text{€}\]

Le prix est proportionnel à la longueur : si on double la longueur, on double le prix. Le coefficient de proportionnalité est 4,80 €/m.

2. Suites proportionnelles

Définition Suites proportionnelles :
Deux suites de nombres sont proportionnelles quand on passe de l'une à l'autre en multipliant toujours par le même nombre, appelé coefficient de proportionnalité.

Exemple : Un fournisseur de bois vend des tasseaux à 2,50 € pièce.

Nombre de tasseaux	1	2	5	10
Prix (€)	2,50	5,00	12,50	25,00

Vérification : \(\dfrac{2{,}50}{1} = \dfrac{5{,}00}{2} = \dfrac{12{,}50}{5} = \dfrac{25{,}00}{10} = 2{,}50\)

Tous les quotients sont égaux à 2,50 : les suites sont proportionnelles.

Méthode Vérifier si deux suites sont proportionnelles

Calculer le quotient \(\dfrac{\text{valeur du bas}}{\text{valeur du haut}}\) pour chaque colonne.

Si tous les quotients sont égaux → les suites sont proportionnelles.

Si un quotient est différent → les suites ne sont pas proportionnelles.

Contre-exemple : Un artisan facture un déplacement de 30 € + 25 €/heure.

Heures	1	2	3	4
Coût total (€)	55	80	105	130

Quotients : \(\dfrac{55}{1} = 55\), \(\dfrac{80}{2} = 40\), \(\dfrac{105}{3} = 35\), \(\dfrac{130}{4} = 32{,}5\)

Les quotients sont différents → ce n'est pas proportionnel (il y a un coût fixe de déplacement).

3. Quatrième proportionnelle

Définition Quatrième proportionnelle :
Dans un tableau de proportionnalité où trois valeurs sont connues, la quatrième se calcule par un produit en croix.

Méthode Calculer une quatrième proportionnelle (règle de trois)
Si on sait que \(a\) correspond à \(b\), on cherche la valeur \(x\) qui correspond à \(c\) :

\(a\)	\(b\)
\(c\)	\(x = ?\)

Multiplier les deux nombres en diagonale connue : \(b \times c\).

Diviser par le nombre restant : \(x = \dfrac{b \times c}{a}\).

Exemple : Un installateur thermique sait que 3 m de tuyau de cuivre coûtent 18 €. Combien coûtent 7 m de ce même tuyau ?

Longueur (m)	Prix (€)
3	18
7	\(x = ?\)

\[x = \frac{18 \times 7}{3} = \frac{126}{3} = 42\,\text{€}\]

7 m de tuyau coûtent 42 €.

Exemple : Pour préparer un mortier, il faut 5 kg de ciment pour 20 litres de sable. Combien de kg de ciment faut-il pour 12 litres de sable ?

Sable (L)	Ciment (kg)
20	5
12	\(x = ?\)

\[x = \frac{5 \times 12}{20} = \frac{60}{20} = 3\,\text{kg}\]

Il faut 3 kg de ciment pour 12 litres de sable.

Attention Avant d'utiliser le produit en croix, vérifiez toujours que la situation est bien une situation de proportionnalité.

Proportionnel : prix au kilo, mélange, échelle, vitesse constante.
Non proportionnel : tarifs avec forfait, réductions par palier, port offert à partir d'un montant.

4. Pourcentages

Définition Pourcentage :
Un pourcentage est une proportion exprimée pour 100.
Dire « 25 % » signifie « 25 pour 100 », c'est-à-dire \(\dfrac{25}{100} = 0{,}25\).

Méthode Calculer un pourcentage d'une quantité
Pour calculer \(t\,\%\) d'une quantité \(Q\) : \[\text{Résultat} = Q \times \frac{t}{100}\]

Exemple 1 : Un devis de plinthes est de 168 € HT. La TVA est de 10 %.

\[\text{TVA} = 168 \times \frac{10}{100} = 168 \times 0{,}10 = 16{,}80\,\text{€}\]

\[\text{Prix TTC} = 168 + 16{,}80 = 184{,}80\,\text{€}\]

Exemple 2 : Un magasin de bricolage propose une réduction de 15 % sur un lot de vis à 24 €.

\[\text{Réduction} = 24 \times \frac{15}{100} = 24 \times 0{,}15 = 3{,}60\,\text{€}\]

\[\text{Prix après réduction} = 24 - 3{,}60 = 20{,}40\,\text{€}\]

Méthode Coefficient multiplicateur

Augmenter de \(t\,\%\) revient à multiplier par \(1 + \dfrac{t}{100}\).
Diminuer de \(t\,\%\) revient à multiplier par \(1 - \dfrac{t}{100}\).

Exemples avec coefficient multiplicateur :

Opération	Coefficient	Calcul
Augmenter de 10 %	\(\times\, 1{,}10\)	\(168 \times 1{,}10 = 184{,}80\,\text{€}\)
Diminuer de 15 %	\(\times\, 0{,}85\)	\(24 \times 0{,}85 = 20{,}40\,\text{€}\)
Augmenter de 20 %	\(\times\, 1{,}20\)	\(500 \times 1{,}20 = 600\,\text{€}\)
Diminuer de 5 %	\(\times\, 0{,}95\)	\(200 \times 0{,}95 = 190\,\text{€}\)

5. Échelles

Définition Échelle :
L'échelle d'un plan est le coefficient de proportionnalité entre les dimensions sur le plan et les dimensions réelles : \[\text{Échelle} = \frac{\text{Dimension sur le plan}}{\text{Dimension réelle}}\] Les deux dimensions doivent être dans la même unité.

Méthode Utiliser une échelle

Convertir les mesures dans la même unité (souvent en cm).

Appliquer la proportionnalité : plan × échelle = réel (ou inversement).

Exemple : Sur un plan à l'échelle \(\dfrac{1}{50}\), une pièce mesure 8 cm de long. Quelle est la longueur réelle ?

\[\text{Longueur réelle} = 8 \times 50 = 400\,\text{cm} = 4\,\text{m}\]

La pièce mesure 4 m en réalité.

Exemple : Une cuisine fait 3,5 m de long en réalité. Combien mesure-t-elle sur un plan à l'échelle \(\dfrac{1}{20}\) ?

Conversion : 3,5 m = 350 cm
\[\text{Sur le plan} = 350 \times \frac{1}{20} = \frac{350}{20} = 17{,}5\,\text{cm}\]

Attention Unités ! Avant tout calcul d'échelle, convertir les deux mesures dans la même unité. On ne peut pas diviser des cm par des mètres.

Mini-exercice : Du vernis coûte 12 €/L. Combien coûtent 3,5 L ?

Mini-exercice : Calcule 25 % de 360 € et 8 % de 150 €.

Mini-exercice : Un panneau coûte 55 € HT. Après une remise de 15 %, quel est le prix ?

Mini-exercice : Pour couvrir 6 m², il faut 0,9 L de peinture. Combien faut-il pour 10 m² ?

Erreurs fréquentes à éviter

Additionner les pourcentages sans convertir — Une remise de 10 % puis une remise de 5 % ne donne pas 15 %. Il faut appliquer les coefficients en cascade : ×0,90 ×0,95 = ×0,855 (soit −14,5 %).
Confondre augmentation et diminution — Augmenter de 20 % → ×1,20. Diminuer de 20 % → ×0,80.
Unités différentes dans la règle de trois — Toujours vérifier que les deux grandeurs sont dans la même unité avant de calculer.

6. À retenir

À retenir :

Proportionnalité : deux suites sont proportionnelles si les quotients correspondants sont tous égaux.
Quatrième proportionnelle : \(x = \dfrac{b \times c}{a}\) (produit en croix).
Pourcentage de \(Q\) : \(Q \times \dfrac{t}{100}\).
Augmentation de \(t\,\%\) : multiplier par \(1 + \dfrac{t}{100}\).
Diminution de \(t\,\%\) : multiplier par \(1 - \dfrac{t}{100}\).
Échelle : \(\dfrac{\text{plan}}{\text{réel}}\). Toujours convertir dans la même unité.