Proportionnalité et pourcentages | CAP | Module 3
Pour chaque tableau, dire si les deux suites de nombres sont proportionnelles. Justifier en calculant les quotients.
a.
| Nombre de litres | 2 | 5 | 8 |
|---|---|---|---|
| Prix (€) | 3 | 7,50 | 12 |
b.
| Distance (km) | 10 | 20 | 30 |
|---|---|---|---|
| Temps (min) | 15 | 25 | 40 |
a. Quotients : \(\dfrac{3}{2} = 1{,}5\) ; \(\dfrac{7{,}50}{5} = 1{,}5\) ; \(\dfrac{12}{8} = 1{,}5\). Les quotients sont tous égaux à 1,5 : oui, c'est proportionnel. Le coefficient est 1,50 €/L.
b. Quotients : \(\dfrac{15}{10} = 1{,}5\) ; \(\dfrac{25}{20} = 1{,}25\) ; \(\dfrac{40}{30} \approx 1{,}33\). Les quotients sont différents : non, ce n'est pas proportionnel.
Un plombier chauffagiste achète du tuyau de cuivre à 6 € le mètre.
| Longueur (m) | 1 | 3 | 5 | 10 | 12 |
|---|---|---|---|---|---|
| Prix (€) | ... | ... | ... | ... | ... |
a.
| Longueur (m) | 1 | 3 | 5 | 10 | 12 |
|---|---|---|---|---|---|
| Prix (€) | 6 | 18 | 30 | 60 | 72 |
b. Le coefficient de proportionnalité est 6 €/m.
c. \(7{,}5 \times 6 = 45\) €.
Pour 10 crêpes, il faut 250 g de farine, 3 œufs et 50 cL de lait.
a. 20 crêpes = 2 × 10 crêpes. On multiplie tout par 2 : 500 g de farine, 6 œufs, 100 cL de lait.
b. 15 crêpes = 1,5 × 10 crêpes. Farine : \(250 \times 1{,}5 = 375\) g. Œufs : \(3 \times 1{,}5 = 4{,}5\) soit 5 œufs. Lait : \(50 \times 1{,}5 = 75\) cL.
c. \(\dfrac{500}{250} \times 10 = 20\) crêpes. Ou par produit en croix : \(\dfrac{500 \times 10}{250} = 20\) crêpes.
Calculer la valeur manquante \(x\) dans chaque tableau de proportionnalité :
a.
| 4 | 12 |
| 7 | \(x\) |
b.
| 6 | 15 |
| \(x\) | 25 |
c.
| 3 | \(x\) |
| 8 | 20 |
a. \(x = \dfrac{12 \times 7}{4} = \dfrac{84}{4} = 21\).
b. \(x = \dfrac{6 \times 25}{15} = \dfrac{150}{15} = 10\).
c. \(x = \dfrac{20 \times 3}{8} = \dfrac{60}{8} = 7{,}5\).
Un artisan menuisier sait que 2 pots de colle à bois coûtent 9,60 €.
a. \(x = \dfrac{9{,}60 \times 5}{2} = \dfrac{48}{2} = 24\) €.
b. \(x = \dfrac{2 \times 36}{9{,}60} = \dfrac{72}{9{,}60} = 7{,}5\). Il peut acheter 7 pots (on arrondit à l'entier inférieur).
Un installateur thermique sait que 4 mètres de tuyau en PER pèsent 1,2 kg.
a. \(x = \dfrac{1{,}2 \times 10}{4} = \dfrac{12}{4} = 3\) kg.
b. \(x = \dfrac{4 \times 6}{1{,}2} = \dfrac{24}{1{,}2} = 20\) m.
Un cycliste roule à vitesse constante. En 2 heures, il parcourt 36 km.
a. \(x = \dfrac{36 \times 3}{2} = \dfrac{108}{2} = 54\) km.
b. \(x = \dfrac{2 \times 63}{36} = \dfrac{126}{36} = 3{,}5\) h = 3 h 30 min.
c. Vitesse = \(\dfrac{36}{2} = 18\) km/h.
Calculer :
a. \(150 \times \dfrac{20}{100} = 150 \times 0{,}2 = 30\).
b. \(80 \times \dfrac{15}{100} = 80 \times 0{,}15 = 12\).
c. \(240 \times \dfrac{5}{100} = 240 \times 0{,}05 = 12\).
d. \(600 \times \dfrac{33}{100} = 600 \times 0{,}33 = 198\).
Un plombier chauffagiste établit un devis pour l'installation d'un ballon d'eau chaude : 850 € HT. La TVA est de 10 %.
a. TVA : \(850 \times \dfrac{10}{100} = 850 \times 0{,}1 = 85\) €.
b. Prix TTC : \(850 + 85 = 935\) €.
c. Coefficient multiplicateur : \(1 + \dfrac{10}{100} = 1{,}10\). Prix TTC : \(850 \times 1{,}10 = 935\) € ✓
Un ébéniste propose une réduction de 20 % sur une commode affichée à 780 €.
a. Réduction : \(780 \times 0{,}20 = 156\) €.
b. Prix réduit : \(780 - 156 = 624\) €.
c. Coefficient : \(1 - 0{,}20 = 0{,}80\). Vérification : \(780 \times 0{,}80 = 624\) € ✓
Pendant les soldes, un magasin de sport propose une réduction de 30 % sur une paire de baskets à 95 €.
a. Coefficient : \(1 - 0{,}30 = 0{,}70\). Prix : \(95 \times 0{,}70 = 66{,}50\) €.
b. 66,50 € < 70 €. Le premier magasin (avec soldes) est moins cher.
Donner le coefficient multiplicateur et calculer le prix final dans chaque cas :
a. Coeff. : \(1{,}08\). Prix : \(200 \times 1{,}08 = 216\) €.
b. Coeff. : \(0{,}88\). Prix : \(350 \times 0{,}88 = 308\) €.
c. Coeff. : \(1{,}20\). Prix : \(45 \times 1{,}20 = 54\) €.
d. Coeff. : \(0{,}75\). Prix : \(1200 \times 0{,}75 = 900\) €.
Sur un plan à l'échelle \(\dfrac{1}{50}\), une pièce mesure 7 cm de long et 5 cm de large.
a. Longueur réelle : \(7 \times 50 = 350\) cm = 3,5 m. Largeur réelle : \(5 \times 50 = 250\) cm = 2,5 m.
b. 6 m = 600 cm. Sur le plan : \(\dfrac{600}{50} = 12\) cm.
Un technicien chauffagiste travaille sur un plan à l'échelle \(\dfrac{1}{100}\).
a. Distance réelle : \(4{,}5 \times 100 = 450\) cm = 4,5 m.
b. 8 m = 800 cm. Sur le plan : \(\dfrac{800}{100} = 8\) cm.
c. Longueur totale : \(5 + 3{,}5 + 6 = 14{,}5\) m.
Un menuisier agenceur fabrique des étagères. Pour 3 étagères, il a besoin de 4,5 m de bois et de 12 vis.
a. \(x = \dfrac{4{,}5 \times 8}{3} = \dfrac{36}{3} = 12\) m de bois.
b. \(x = \dfrac{12 \times 8}{3} = \dfrac{96}{3} = 32\) vis.
c. Coût du bois : \(12 \times 7 = 84\) €.
Un installateur thermique installe un plancher chauffant. Le devis HT se décompose ainsi :
La TVA sur le matériel est de 20 % et la TVA sur la main d'œuvre est de 10 %.
a. TVA matériel : \(1200 \times 0{,}20 = 240\) €.
b. TVA main d'œuvre : \(800 \times 0{,}10 = 80\) €.
c. Total TTC : \(1200 + 240 + 800 + 80 = 2\,320\) €.
Une voiture consomme 6 litres aux 100 km. Le prix du carburant est 1,80 € le litre.
a. \(x = \dfrac{6 \times 250}{100} = \dfrac{1500}{100} = 15\) litres.
b. Coût : \(15 \times 1{,}80 = 27\) €.
c. \(x = \dfrac{100 \times 45}{6} = \dfrac{4500}{6} = 750\) km.
Un ébéniste dessine le plan d'une armoire à l'échelle \(\dfrac{1}{10}\). L'armoire réelle doit mesurer 2 m de haut, 1,2 m de large et 0,6 m de profondeur.
a. Hauteur : \(\dfrac{200}{10} = 20\) cm. Largeur : \(\dfrac{120}{10} = 12\) cm. Profondeur : \(\dfrac{60}{10} = 6\) cm.
b. Largeur réelle : \(11 \times 10 = 110\) cm = 1,10 m.
c. Prix TTC : \(320 \times 1{,}20 = 384\) €.