Chapitre 2 – Probabilités

CAP | Mathématiques | Module 2

Objectifs du chapitre :

Distinguer fréquence et probabilité
Calculer la probabilité d'un événement dans un cas simple
Utiliser un tableau ou un arbre pour dénombrer les issues
Interpréter un résultat de probabilité dans la vie quotidienne

1. Introduction — Le hasard dans la vie professionnelle

Situation professionnelle — Contrôle qualité

Un ébéniste reçoit une livraison de 50 poignées de tiroir. Le fournisseur annonce qu'en moyenne, 2 poignées sur 50 présentent un défaut. Le menuisier prend une poignée au hasard dans le carton.

Quelle est la probabilité de tomber sur une poignée défectueuse ?

\[P(\text{défaut}) = \frac{2}{50} = \frac{1}{25} = 0{,}04 = 4\,\%\]

Il y a 4 chances sur 100 (soit 4 %) de tirer une poignée défectueuse. Les probabilités permettent de mesurer ce risque.

2. Expérience aléatoire et issues

Définition Expérience aléatoire :
Une expérience aléatoire est une expérience dont on ne peut pas prévoir le résultat à l'avance, mais dont on connaît tous les résultats possibles.

Définition Issues :
Les issues (ou éventualités) sont tous les résultats possibles d'une expérience aléatoire.
L'ensemble de toutes les issues s'appelle l'univers.

Exemples :

Expérience	Issues possibles
Lancer un dé à 6 faces	1, 2, 3, 4, 5, 6
Lancer une pièce de monnaie	Pile, Face
Tirer une bille dans un sac (3 rouges, 2 bleues)	Rouge, Bleue
Contrôler une pièce usinée	Conforme, Non conforme

3. Événement

Définition Événement :
Un événement est une condition portant sur le résultat de l'expérience. Un événement peut être réalisé par une ou plusieurs issues.

Exemple : On lance un dé à 6 faces.

Événement A : « obtenir un 3 » → une seule issue : {3}
Événement B : « obtenir un nombre pair » → trois issues : {2, 4, 6}
Événement C : « obtenir un nombre inférieur à 5 » → quatre issues : {1, 2, 3, 4}

Définition Événements particuliers :

Un événement certain se réalise toujours. Sa probabilité est 1.
Un événement impossible ne se réalise jamais. Sa probabilité est 0.

Exemple : On lance un dé à 6 faces.

« Obtenir un nombre entre 1 et 6 » → événement certain (probabilité = 1)
« Obtenir 7 » → événement impossible (probabilité = 0)

4. Probabilité d'un événement

Définition Probabilité :
La probabilité d'un événement est un nombre compris entre 0 et 1 qui mesure la chance que cet événement se réalise.

Propriété Quand toutes les issues sont équiprobables (même chance de se produire) : \[P(\text{événement}) = \frac{\text{Nombre d'issues favorables}}{\text{Nombre total d'issues}}\]

Méthode Calculer une probabilité

Lister toutes les issues possibles et vérifier qu'elles sont équiprobables.

Compter le nombre total d'issues.

Compter le nombre d'issues favorables à l'événement.

Appliquer la formule : \(P = \dfrac{\text{favorables}}{\text{total}}\).

Exemple 1 : On lance un dé à 6 faces équilibré. Quelle est la probabilité d'obtenir un nombre pair ?

Issues totales : {1, 2, 3, 4, 5, 6} → 6 issues
Issues favorables (nombres pairs) : {2, 4, 6} → 3 issues
\(P(\text{pair}) = \dfrac{3}{6} = \dfrac{1}{2} = 0{,}5 = 50\,\%\)

Exemple 2 : Un carton contient 20 vis : 15 de bonne qualité et 5 défectueuses. On tire une vis au hasard. Quelle est la probabilité qu'elle soit défectueuse ?

Nombre total : 20 vis
Issues favorables (défectueuses) : 5
\(P(\text{défectueuse}) = \dfrac{5}{20} = \dfrac{1}{4} = 0{,}25 = 25\,\%\)

Attention

Une probabilité est toujours comprise entre 0 et 1. Si vous trouvez un nombre négatif ou supérieur à 1, il y a une erreur !
La formule ne s'applique que si toutes les issues ont la même chance de se produire (dé équilibré, tirage au hasard, etc.).

5. Événement contraire

Définition Événement contraire :
L'événement contraire de l'événement A, noté \(\bar{A}\), est l'événement qui se réalise quand A ne se réalise pas.

Propriété Probabilité de l'événement contraire : \[P(\bar{A}) = 1 - P(A)\]

Méthode Utiliser l'événement contraire
Parfois, il est plus simple de calculer la probabilité du contraire, puis de soustraire à 1.

Exemple : Un carton contient 20 vis : 5 défectueuses et 15 bonnes.

A : « la vis est défectueuse » → \(P(A) = \dfrac{5}{20} = 0{,}25\)
\(\bar{A}\) : « la vis est de bonne qualité » → \(P(\bar{A}) = 1 - 0{,}25 = 0{,}75 = 75\,\%\)

Vérification : \(\dfrac{15}{20} = 0{,}75\) ✓

6. Fluctuation des fréquences et stabilisation

Définition Fluctuation des fréquences :
Quand on répète une expérience aléatoire un petit nombre de fois, la fréquence d'un événement peut varier d'une série à l'autre. C'est la fluctuation.

Propriété Stabilisation :
Plus on répète l'expérience un grand nombre de fois, plus la fréquence observée se rapproche de la probabilité théorique.

Exemple : On lance une pièce de monnaie équilibrée. La probabilité d'obtenir Pile est \(\dfrac{1}{2} = 0{,}5\).

Nombre de lancers	10	50	100	1 000	10 000
Fréquence de Pile	0,40	0,46	0,48	0,503	0,4998

La fréquence se stabilise autour de 0,5 quand le nombre de lancers augmente.

Mini-exercice : Un sac contient 3 billes rouges et 7 billes bleues. On tire une bille au hasard. Calcule P(rouge) et P(bleue). Vérifie que leur somme vaut 1.

Mini-exercice : Un lot de 50 charnières contient 4 pièces défectueuses. Calcule P(défectueuse) et P(conforme).

Mini-exercice : La probabilité d'une pièce conforme est 0,95. Quelle est la probabilité d'une pièce non conforme ?

Erreurs fréquentes à éviter

P(A) > 1 — Impossible. Une probabilité est toujours entre 0 et 1. Si on obtient un résultat supérieur à 1, on a mal dénombré.
Confondre cas favorables et cas totaux — 4 défectueux sur 50, c'est P = 4/50, pas 4/46.
Oublier la complémentarité — P(contraire) = 1 − P(A), pas P(A) − 1.

7. À retenir

À retenir :

Une expérience aléatoire : on ne peut pas prévoir le résultat à l'avance.
Les issues sont tous les résultats possibles.
Un événement est réalisé par une ou plusieurs issues.
Quand les issues sont équiprobables : \(P = \dfrac{\text{cas favorables}}{\text{cas possibles}}\)
La probabilité est toujours comprise entre 0 et 1.
Événement contraire : \(P(\bar{A}) = 1 - P(A)\).
Plus on répète l'expérience, plus la fréquence se rapproche de la probabilité.