Probabilités | CAP | Module 2
Pour chaque expérience, indiquer si elle est aléatoire et lister toutes les issues possibles.
a. Oui, aléatoire. Issues : {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
b. Oui, aléatoire. Issues : {pique, cœur, carreau, trèfle}.
c. Non, ce n'est pas aléatoire : le résultat est prévisible (environ 2 m).
d. Oui, aléatoire. Issues : {rouge, bleue}.
Un menuisier contrôle la qualité des tiroirs qu'il fabrique. Chaque tiroir est classé : conforme, défaut léger ou défaut grave.
a. Oui, car on ne peut pas prévoir à l'avance le résultat du contrôle.
b. Issues : {conforme, défaut léger, défaut grave}.
c. L'événement A est réalisé par les issues {défaut léger, défaut grave}.
On lance un dé à 6 faces équilibré. Pour chaque événement, dire s'il est certain, impossible ou ni l'un ni l'autre.
a. A est certain : toutes les faces (1 à 6) sont inférieures à 7. \(P(A) = 1\).
b. B est impossible : il n'y a pas de face 0. \(P(B) = 0\).
c. C n'est ni certain ni impossible : issues favorables {2, 4, 6}.
d. D est certain : toutes les faces sont positives. \(P(D) = 1\).
On lance un dé à 6 faces équilibré. Calculer la probabilité des événements suivants :
a. 1 issue favorable sur 6 : \(P = \dfrac{1}{6} \approx 0{,}167\).
b. Issues favorables : {1, 3, 5} → \(P = \dfrac{3}{6} = \dfrac{1}{2} = 0{,}5\).
c. Issues favorables : {5, 6} → \(P = \dfrac{2}{6} = \dfrac{1}{3} \approx 0{,}333\).
d. Issues favorables : {1, 2} → \(P = \dfrac{2}{6} = \dfrac{1}{3} \approx 0{,}333\).
Un plombier chauffagiste a dans sa caisse à outils 10 raccords : 4 en cuivre, 3 en laiton et 3 en PVC. Il prend un raccord au hasard.
a. \(P(\text{cuivre}) = \dfrac{4}{10} = \dfrac{2}{5} = 0{,}4 = 40\,\%\).
b. \(P(\text{PVC}) = \dfrac{3}{10} = 0{,}3 = 30\,\%\).
c. \(P(\text{pas laiton}) = 1 - P(\text{laiton}) = 1 - \dfrac{3}{10} = \dfrac{7}{10} = 0{,}7 = 70\,\%\).
Lors d'un tournoi de football, on tire au sort l'équipe qui commence. Il y a 8 équipes dans un chapeau.
a. \(P = \dfrac{1}{8} = 0{,}125 = 12{,}5\,\%\).
b. \(P(\text{contraire}) = 1 - \dfrac{1}{8} = \dfrac{7}{8} = 0{,}875 = 87{,}5\,\%\).
c. Pour la première : 8 possibilités. Pour la deuxième : 7 possibilités (une équipe a déjà été tirée).
Un ébéniste reçoit un lot de 80 charnières. Le fournisseur indique que 5 % des charnières sont défectueuses.
a. \(80 \times 0{,}05 = 4\) charnières défectueuses.
b. \(P(\text{défectueuse}) = \dfrac{4}{80} = \dfrac{1}{20} = 0{,}05 = 5\,\%\).
c. \(P(\text{bonne qualité}) = 1 - 0{,}05 = 0{,}95 = 95\,\%\).
Un sachet contient 5 bonbons à la fraise, 3 bonbons au citron et 2 bonbons à la menthe. On pioche un bonbon au hasard.
a. \(5 + 3 + 2 = 10\) bonbons.
b. \(P(\text{fraise}) = \dfrac{5}{10} = \dfrac{1}{2} = 0{,}5 = 50\,\%\).
c. \(P(\text{pas citron}) = 1 - \dfrac{3}{10} = \dfrac{7}{10} = 0{,}7 = 70\,\%\).
d. Bonbon à la menthe : \(P = \dfrac{2}{10} = 0{,}2 = 20\,\%\), la plus faible probabilité.
Compléter le tableau suivant :
| Événement A | \(P(A)\) | Événement contraire \(\bar{A}\) | \(P(\bar{A})\) |
|---|---|---|---|
| Obtenir Pile | 0,5 | ... | ... |
| Tirer une bille rouge | 0,3 | ... | ... |
| Pièce conforme | 0,92 | ... | ... |
| Nombre pair | \(\frac{1}{2}\) | ... | ... |
| Événement A | \(P(A)\) | Événement contraire \(\bar{A}\) | \(P(\bar{A})\) |
|---|---|---|---|
| Obtenir Pile | 0,5 | Obtenir Face | \(1 - 0{,}5 = 0{,}5\) |
| Tirer une bille rouge | 0,3 | Tirer une bille qui n'est pas rouge | \(1 - 0{,}3 = 0{,}7\) |
| Pièce conforme | 0,92 | Pièce non conforme | \(1 - 0{,}92 = 0{,}08\) |
| Nombre pair | \(\frac{1}{2}\) | Nombre impair | \(1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}\) |
Un installateur thermique contrôle des tuyaux de cuivre. Sur un lot de 200 tuyaux, 12 présentent un défaut.
a. \(P(\text{défectueux}) = \dfrac{12}{200} = \dfrac{3}{50} = 0{,}06\).
b. \(P(\text{conforme}) = 1 - 0{,}06 = 0{,}94\).
c. Défectueux : 6 %. Conforme : 94 %.
La météo annonce 70 % de chances de pluie demain.
a. \(P(\text{pluie}) = 0{,}70\).
b. \(P(\text{pas de pluie}) = 1 - 0{,}70 = 0{,}30 = 30\,\%\).
c. Il est plus probable qu'il pleuve (70 % > 30 %).
Trois élèves lancent chacun une pièce de monnaie équilibrée 20 fois et notent le nombre de Pile :
| Élève | Alice | Bilal | Claire |
|---|---|---|---|
| Nombre de Pile | 8 | 11 | 10 |
a. Alice : \(\dfrac{8}{20} = 0{,}4\). Bilal : \(\dfrac{11}{20} = 0{,}55\). Claire : \(\dfrac{10}{20} = 0{,}5\).
b. Non, les fréquences sont différentes (0,4 ; 0,55 et 0,5). Elles ne sont pas toutes égales à 0,5.
c. C'est la fluctuation des fréquences : sur un petit nombre de lancers, la fréquence varie d'une série à l'autre.
On lance un dé à 6 faces et on note la fréquence d'obtention du 6 :
| Nombre de lancers | 10 | 50 | 200 | 1 000 | 5 000 |
|---|---|---|---|---|---|
| Nombre de 6 obtenus | 3 | 7 | 35 | 168 | 832 |
| Fréquence | ... | ... | ... | ... | ... |
a.
| Nombre de lancers | 10 | 50 | 200 | 1 000 | 5 000 |
|---|---|---|---|---|---|
| Fréquence | \(\frac{3}{10} = 0{,}300\) | \(\frac{7}{50} = 0{,}140\) | \(\frac{35}{200} = 0{,}175\) | \(\frac{168}{1000} = 0{,}168\) | \(\frac{832}{5000} = 0{,}166\) |
b. La fréquence se stabilise autour de 0,167.
c. Oui : la probabilité théorique est \(\dfrac{1}{6} \approx 0{,}167\). Plus le nombre de lancers augmente, plus la fréquence se rapproche de cette valeur.
Un menuisier agenceur a dans sa caisse : 6 tournevis plats, 4 tournevis cruciformes, 2 clés Allen et 3 clés à pipe. Il prend un outil au hasard sans regarder.
a. \(6 + 4 + 2 + 3 = 15\) outils.
b. \(P(\text{tournevis}) = \dfrac{6 + 4}{15} = \dfrac{10}{15} = \dfrac{2}{3} \approx 0{,}667 = 66{,}7\,\%\).
c. \(P(\text{pas clé à pipe}) = 1 - \dfrac{3}{15} = 1 - \dfrac{1}{5} = \dfrac{4}{5} = 0{,}8 = 80\,\%\).
d. Le tournevis plat (probabilité \(\frac{6}{15} = 0{,}4\), la plus élevée parmi les 4 types).
Lors d'une kermesse, une roue comporte 20 secteurs identiques numérotés de 1 à 20. On gagne un lot si la roue s'arrête sur un multiple de 5.
a. Multiples de 5 entre 1 et 20 : {5, 10, 15, 20}.
b. \(P(\text{gagner}) = \dfrac{4}{20} = \dfrac{1}{5} = 0{,}2 = 20\,\%\).
c. \(P(\text{perdre}) = 1 - 0{,}2 = 0{,}8 = 80\,\%\).
d. Sur 100 parties, on peut espérer gagner environ \(100 \times 0{,}2 = 20\) lots.
Un technicien CVC vérifie des chaudières dans un immeuble. Voici le résultat :
| Gaz | Électrique | Total | |
|---|---|---|---|
| Conforme | 12 | 8 | 20 |
| Non conforme | 3 | 2 | 5 |
| Total | 15 | 10 | 25 |
On choisit une chaudière au hasard.
a. \(P(\text{gaz}) = \dfrac{15}{25} = \dfrac{3}{5} = 0{,}6 = 60\,\%\).
b. \(P(\text{non conforme}) = \dfrac{5}{25} = \dfrac{1}{5} = 0{,}2 = 20\,\%\).
c. \(P(\text{électrique et conforme}) = \dfrac{8}{25} = 0{,}32 = 32\,\%\).
d. \(P(\text{conforme}) = \dfrac{20}{25} = \dfrac{4}{5} = 0{,}8 = 80\,\%\).
Un élève lance une pièce 50 fois et obtient 35 fois Pile.
a. Fréquence de Pile : \(\dfrac{35}{50} = 0{,}7 = 70\,\%\).
b. Non, 0,7 est assez éloigné de 0,5.
c. On ne peut pas conclure avec certitude. Avec seulement 50 lancers, la fluctuation peut expliquer un écart. Cependant, un écart aussi important (0,7 au lieu de 0,5) suggère que la pièce pourrait être truquée. Il faudrait faire plus de lancers pour confirmer.
Un fabricant de meubles reçoit une livraison de 120 planches. 15 % sont en chêne, 40 % en hêtre, 30 % en pin et le reste en sapin. On prend une planche au hasard.
a. Chêne : \(120 \times 0{,}15 = 18\). Hêtre : \(120 \times 0{,}40 = 48\). Pin : \(120 \times 0{,}30 = 36\). Sapin : \(120 - 18 - 48 - 36 = 18\) (soit 15 %).
b. \(P(\text{chêne}) = \dfrac{18}{120} = \dfrac{3}{20} = 0{,}15 = 15\,\%\).
c. \(P(\text{hêtre ou pin}) = \dfrac{48 + 36}{120} = \dfrac{84}{120} = 0{,}7 = 70\,\%\).
d. \(P(\text{pas sapin}) = 1 - \dfrac{18}{120} = 1 - 0{,}15 = 0{,}85 = 85\,\%\).