Ch02 — Probabilités | CAP | Mathématiques | ⏱ 30 min
Dernière mise à jour : 6 mai 2026, format manuel scolaire
Hors programme — pour aller plus loin : la lecture du tableau croisé est au programme CAP, mais la probabilité conditionnelle, l'indépendance et la formule P(A∪B) = P(A)+P(B)−P(A∩B) anticipent le Bac Pro.
Sur 200 chaudières en maintenance, on a relevé deux types de pannes : électrique (E) ou hydraulique (H).
| E | Pas E | Total | |
|---|---|---|---|
| H | 15 | 25 | 40 |
| Pas H | 30 | 130 | 160 |
| Total | 45 | 155 | 200 |
Calculer P(E) et P(H).
P(E) = 45/200 = 0,225 = 22,5 %.
P(H) = 40/200 = 0,20 = 20 %.
P(E et H) = ?
P(E ∩ H) = 15/200 = 0,075 = 7,5 %.
P(E ou H) = ?
P(E ∪ H) = P(E) + P(H) − P(E ∩ H) = 0,225 + 0,20 − 0,075 = 0,35 = 35 %.
Vérification : (15+30+25)/200 = 70/200 = 0,35 ✔
Combien de chaudières sans aucune panne ?
200 − 70 = 130 chaudières. P(aucune panne) = 130/200 = 0,65 = 65 %.
(Tableau direct : 130 ✔)
Sachant qu'une chaudière a une panne électrique, quelle est la probabilité qu'elle ait aussi une panne hydraulique ?
P_E(H) = P(E ∩ H) / P(E) = 0,075 / 0,225 = 1/3 ≈ 33 %.
1/3 des chaudières en panne électrique ont aussi une panne hydraulique.
Les événements E et H sont-ils indépendants ?
P(E) × P(H) = 0,225 × 0,20 = 0,045.
P(E ∩ H) = 0,075 ≠ 0,045 → non indépendants.
Souvent les pannes E et H ont une cause commune (ex : surchauffe qui détériore à la fois la pompe et l'électronique).
Une intervention coûte 80 € (panne simple) ou 130 € (double panne). Calculer le coût moyen par chaudière en panne.
Pannes simples : 70 − 15 = 55 chaudières × 80 = 4 400 €.
Doubles pannes : 15 × 130 = 1 950 €.
Total : 6 350 €. Moyenne par chaudière en panne : 6 350 / 70 ≈ 91 €.
Synthétiser les chiffres clés.
Bilan SAV chaudières (200 unités)
• 35 % en panne ; 22,5 % E ; 20 % H ; 7,5 % E+H.
• Coût moyen intervention : 91 €/chaudière en panne.
• Causes E et H non indépendantes → analyse mécanique commune.
• Action : maintenance préventive sur surchauffe (cause potentielle commune).
Si l'entreprise installe un sécheur d'air sur ses chaudières, on espère réduire l'humidité et donc les pannes hydrauliques de 50 %. Recalculer la probabilité d'avoir au moins 1 panne après installation.
Nouveau P(H) ≈ 10 %. Si P(E ∩ H) baisse aussi de 50 % : 3,75 %.
P(E ∪ H) = 22,5 + 10 − 3,75 = 28,75 % au lieu de 35 %. Gain de 6,25 points.
📚 Cette activité s'appuie sur §3 (Événements) et §4 (Tableaux) de la leçon Ch02.