Il souhaite savoir : quelle est la longueur moyenne ? Quelle valeur revient le plus souvent ?
Les statistiques permettent de répondre à ces questions.
2. Vocabulaire des statistiques
DéfinitionSérie statistique :
Une série statistique est un ensemble de données recueillies lors d'une étude.
La population est l'ensemble des individus étudiés.
Le caractère est la propriété observée (longueur, température, note, etc.).
Les valeurs sont les résultats possibles du caractère.
Exemple : Un installateur thermique relève la température de 8 radiateurs (en °C) :
55, 58, 55, 60, 58, 55, 62, 58.
Population : les 8 radiateurs
Caractère : la température en °C
Valeurs : 55, 58, 60, 62
3. Effectifs et fréquences
DéfinitionEffectif :
L'effectif d'une valeur est le nombre de fois où cette valeur apparaît dans la série.
L'effectif total est le nombre total de données (noté \(N\)).
DéfinitionFréquence :
La fréquence d'une valeur est la proportion de cette valeur par rapport au total :
\[\text{Fréquence} = \frac{\text{Effectif de la valeur}}{\text{Effectif total}}\]
La fréquence s'exprime en fraction, en nombre décimal ou en pourcentage.
Propriété
La somme de tous les effectifs est égale à l'effectif total \(N\).
La somme de toutes les fréquences est égale à 1 (soit 100 %).
MéthodeConstruire un tableau d'effectifs et de fréquences
1
Lister toutes les valeurs différentes de la série.
2
Compter combien de fois chaque valeur apparaît → c'est l'effectif.
3
Calculer chaque fréquence en divisant l'effectif par \(N\).
4
Vérifier : la somme des effectifs donne \(N\) et la somme des fréquences donne 1.
Exemple détaillé : Reprenons les températures des radiateurs (55, 58, 55, 60, 58, 55, 62, 58).
Effectif total \(N = 8\).
Température (°C)
55
58
60
62
Total
Effectif
3
3
1
1
8
Fréquence
\(\frac{3}{8} = 0{,}375\)
\(\frac{3}{8} = 0{,}375\)
\(\frac{1}{8} = 0{,}125\)
\(\frac{1}{8} = 0{,}125\)
1
Fréquence en %
37,5 %
37,5 %
12,5 %
12,5 %
100 %
Mini-exercice : Un menuisier mesure 6 planches : 20, 18, 20, 19, 18, 20 mm.
Construis le tableau d'effectifs et de fréquences.
Définition
Un diagramme en bâtons représente chaque valeur par un bâton vertical dont la hauteur est proportionnelle à l'effectif (ou à la fréquence).
MéthodeTracer un diagramme en bâtons
1
Tracer un axe horizontal avec les valeurs du caractère.
2
Tracer un axe vertical gradué pour les effectifs.
3
Dessiner un bâton vertical pour chaque valeur, de hauteur égale à l'effectif.
Exemple : Un atelier de signalétique produit des panneaux. On relève le nombre de défauts par lot sur 20 lots :
Nombre de défauts
0
1
2
3
4
Effectif (nb de lots)
6
7
4
2
1
Le diagramme en bâtons aura 5 bâtons : le plus haut pour la valeur 1 (7 lots).
4.2 Diagramme circulaire
Définition
Un diagramme circulaire (ou « camembert ») représente chaque valeur par un secteur dont l'angle est proportionnel à l'effectif.
MéthodeCalculer l'angle d'un secteur
L'angle d'un secteur se calcule avec la formule :
\[\text{Angle} = \text{Fréquence} \times 360°\]
ou de manière équivalente :
\[\text{Angle} = \frac{\text{Effectif}}{\text{Effectif total}} \times 360°\]
Exemple : Calculons les angles pour les températures des radiateurs :
Température
55 °C
58 °C
60 °C
62 °C
Total
Effectif
3
3
1
1
8
Angle
\(\frac{3}{8} \times 360 = 135°\)
\(\frac{3}{8} \times 360 = 135°\)
\(\frac{1}{8} \times 360 = 45°\)
\(\frac{1}{8} \times 360 = 45°\)
360°
Vérification : \(135 + 135 + 45 + 45 = 360°\) ✓
Attention
La somme de tous les angles doit toujours faire 360°. Si ce n'est pas le cas, il y a une erreur de calcul.
Ne pas confondre diagramme en bâtons (pour des données discrètes) et histogramme (pour des données regroupées en classes — hors programme CAP).
5. La moyenne
DéfinitionMoyenne :
La moyenne d'une série statistique est :
\[\bar{x} = \frac{\text{Somme de toutes les valeurs}}{\text{Effectif total}}\]
Quand on a un tableau d'effectifs, la formule devient :
\[\bar{x} = \frac{n_1 \times v_1 + n_2 \times v_2 + \cdots + n_k \times v_k}{N}\]
où \(v_i\) sont les valeurs et \(n_i\) les effectifs correspondants.
MéthodeCalculer une moyenne à partir d'un tableau
1
Pour chaque valeur, calculer le produit valeur × effectif.
2
Additionner tous ces produits.
3
Diviser par l'effectif total \(N\).
Exemple détaillé : Calculons la température moyenne des 8 radiateurs.
La température moyenne des radiateurs est d'environ 57,6 °C.
Exemple professionnel : Un graphiste en signalétique réalise 5 panneaux dans la journée. Les temps de réalisation (en minutes) sont : 35, 42, 38, 40, 35.
Repérer la grandeur sur l'axe horizontal (les valeurs) et l'axe vertical (les effectifs).
2
Pour connaître l'effectif d'une valeur : lire la hauteur du bâton correspondant.
3
L'effectif total est la somme des hauteurs de tous les bâtons.
Exemple : Un installateur thermique relève le nombre de pannes par mois sur 12 mois.
Le diagramme montre : 2 pannes (3 mois), 3 pannes (5 mois), 4 pannes (3 mois), 5 pannes (1 mois).
Effectif total : \(3 + 5 + 3 + 1 = 12\) mois
Valeur la plus fréquente : 3 pannes (5 mois sur 12)
Oublier de diviser par N pour la fréquence — La fréquence est un rapport, pas un effectif. Exemple : 3 valeurs sur 8 → f = 3/8 = 0,375, pas 3.
Somme des fréquences ≠ 1 — Vérifier toujours la somme. Si elle vaut 0,99 ou 1,01, il y a une erreur d'arrondi.
Confondre mode et moyenne — Le mode est la valeur la plus fréquente ; la moyenne, elle, est la somme des valeurs divisée par l'effectif. Ce sont deux indicateurs différents.
Angle du diagramme circulaire ≠ 360° — Si la somme des angles ne fait pas 360°, recommencer le calcul. Utiliser la formule : angle = fréquence × 360.
8. À retenir
À retenir :
L'effectif d'une valeur = nombre de fois où elle apparaît.
La fréquence = effectif divisé par l'effectif total. Toujours entre 0 et 1 (ou 0 % et 100 %).
Le diagramme en bâtons : hauteur = effectif.
Le diagramme circulaire : angle = fréquence × 360°.
La moyenne = somme de (valeur × effectif) divisée par l'effectif total.
Vérifications : somme des effectifs = \(N\), somme des fréquences = 1, somme des angles = 360°.