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Interrogation — Ch23 : Éléments de théorie des ensembles

BTS | Mathématiques | Durée : 40 min | /20

Dernière mise à jour : 21 juin 2026

Nom : _____ Prénom : _____ Date : _____

Exercice 1 — Opérations ensemblistes (4 pts)

On travaille dans l'ensemble universel \(E = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\}\), avec \(A = \{1, 2, 3, 4\}\) et \(B = \{3, 4, 5, 6\}\).

  1. Déterminer \(A \cup B\) et \(A \cap B\). (2 pts)
  2. Déterminer la différence \(A \setminus B\). (1 pt)
  3. Déterminer le complémentaire \(\bar{A}\) dans \(E\). (1 pt)

Exercice 2 — Lois de De Morgan (3 pts)

On reprend \(E = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\}\), \(A = \{1, 2, 3, 4\}\) et \(B = \{3, 4, 5, 6\}\).

  1. Énoncer la loi de De Morgan donnant \(\overline{A \cup B}\). (1 pt)
  2. Vérifier cette loi sur cet exemple en calculant les deux membres. (2 pts)

Exercice 3 — Cardinal et inclusion-exclusion (4 pts)

Une enquête est menée auprès de 150 clients d'un magasin de bricolage. 80 ont acheté de l'outillage (ensemble \(A\)), 60 ont acheté des consommables (ensemble \(B\)), et 30 ont acheté les deux.

  1. Combien de clients ont acheté de l'outillage ou des consommables (au moins l'un des deux) ? (2 pts)
  2. Combien de clients n'ont acheté ni l'un ni l'autre ? (2 pts)

Exercice 4 — Ensemble des parties et produit cartésien (4 pts)

  1. Soit \(C = \{a, b, c, d, e\}\) (5 éléments). Combien de sous-ensembles l'ensemble \(C\) possède-t-il, c'est-à-dire quel est \(|\mathcal{P}(C)|\) ? (2 pts)
  2. Soit \(X = \{1, 2, 3\}\) et \(Y = \{p, q\}\). Donner le cardinal \(|X \times Y|\) puis lister tous les couples de \(X \times Y\). (2 pts)

Exercice 5 — Dénombrement (5 pts)

Un atelier dispose de 8 références de pièces différentes.

  1. Un technicien doit choisir 3 pièces parmi les 8 pour un prélèvement de contrôle (l'ordre n'a pas d'importance). Combien de choix possibles ? Donner l'expression \(\binom{8}{3}\) puis sa valeur. (2,5 pts)
  2. On veut maintenant former un code d'identification ordonné de 3 pièces distinctes parmi les 8 (l'ordre compte). Combien de codes différents avec l'arrangement \(A_8^3\) ? (2,5 pts)

Correction

Exercice 1 (4 pts)

a) \(A \cup B = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}\) (éléments dans \(A\) ou \(B\)) ; \(A \cap B = \{3, 4\}\) (éléments communs). (2 pts)

b) \(A \setminus B = \{1, 2\}\) (éléments de \(A\) qui ne sont pas dans \(B\)). (1 pt)

c) \(\bar{A} = E \setminus A = \{5, 6, 7, 8\}\). (1 pt)

Exercice 2 (3 pts)

a) Loi de De Morgan : \(\overline{A \cup B} = \bar{A} \cap \bar{B}\) (le complémentaire d'une union est l'intersection des complémentaires). (1 pt)

b) Membre de gauche : \(A \cup B = \{1,2,3,4,5,6\}\), donc \(\overline{A \cup B} = \{7, 8\}\).
Membre de droite : \(\bar{A} = \{5,6,7,8\}\) et \(\bar{B} = \{1,2,7,8\}\), donc \(\bar{A} \cap \bar{B} = \{7, 8\}\).
Les deux membres sont égaux : la loi est vérifiée. ✓ (2 pts)

Exercice 3 (4 pts)

a) Formule d'inclusion-exclusion : \(|A \cup B| = |A| + |B| - |A \cap B| = 80 + 60 - 30 = 110\) clients. (2 pts)

b) Clients n'ayant rien acheté de ces catégories : \(150 - 110 = 40\) clients. (2 pts)

Exercice 4 (4 pts)

a) \(|\mathcal{P}(C)| = 2^{|C|} = 2^5 = 32\) sous-ensembles. (2 pts)

b) \(|X \times Y| = |X| \times |Y| = 3 \times 2 = 6\).
\(X \times Y = \{(1,p), (1,q), (2,p), (2,q), (3,p), (3,q)\}\). (2 pts)

Exercice 5 (5 pts)

a) Choix non ordonné de 3 parmi 8 : combinaison. \[\binom{8}{3} = \frac{8 \times 7 \times 6}{3!} = \frac{336}{6} = 56 \text{ choix.}\] (2,5 pts)

b) Choix ordonné de 3 parmi 8 : arrangement. \[A_8^3 = \frac{8!}{(8-3)!} = 8 \times 7 \times 6 = 336 \text{ codes.}\] (On retrouve bien \(A_8^3 = 3! \times \binom{8}{3} = 6 \times 56 = 336\).) (2,5 pts)

Total : 4 + 3 + 4 + 4 + 5 = 20 points.