Fiche résumé – Éléments de théorie des ensembles

Chapitre 23 | BTS | Mathématiques

Dernière mise à jour : 21 juin 2026

L'essentiel :

Quatre opérations : union \(A\cup B\) (« ou »), intersection \(A\cap B\) (« et »), complémentaire \(\bar A\), différence \(A\setminus B=A\cap\bar B\).
De Morgan : \(\overline{A\cup B}=\bar A\cap\bar B\) et \(\overline{A\cap B}=\bar A\cup\bar B\).
Inclusion-exclusion : \(|A\cup B|=|A|+|B|-|A\cap B|\). Un ensemble à \(n\) éléments a \(2^n\) parties.
Dénombrement : ordre + sans remise → arrangements \(A_n^k\) ; sans ordre → combinaisons \(\binom{n}{k}\) ; avec remise → \(n^k\).
SQL : UNION ↔ \(A\cup B\), INTERSECT ↔ \(A\cap B\), EXCEPT ↔ \(A\setminus B\).

Définitions clés

Définition

Inclusion : \(A\subseteq B\) si tout élément de \(A\) appartient à \(B\). Cardinal \(|A|\) : nombre d'éléments.

Définition

Produit cartésien : \(A\times B=\{(a,b)\mid a\in A,\ b\in B\}\), avec \(|A\times B|=|A|\times|B|\) (couples ordonnés).

Définition

Application \(f:A\to B\) : tout \(a\in A\) a exactement une image. Injective (images distinctes), surjective (tout \(b\) a un antécédent), bijective (les deux).

Diagrammes de Venn

\(A\cup B\)

\(A\cap B\)

\(A\setminus B\)

Formules à connaître

Lois de De Morgan \[\overline{A\cup B}=\bar A\cap\bar B\qquad\overline{A\cap B}=\bar A\cup\bar B\]

Cardinaux (inclusion-exclusion) \[|A\cup B|=|A|+|B|-|A\cap B|\] \[|A\cup B\cup C|=|A|+|B|+|C|-|A\cap B|-|A\cap C|-|B\cap C|+|A\cap B\cap C|\] \[|\mathcal P(A)|=2^{|A|}\qquad P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)\]

Dénombrement \[n!=1\times2\times\cdots\times n\quad(0!=1)\] \[A_n^k=\frac{n!}{(n-k)!}\qquad\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!\,(n-k)!}\]

Avec remise (ordonné) : \(n^k\). Pascal : \(\binom{n}{k}=\binom{n-1}{k-1}+\binom{n-1}{k}\), \(\binom{n}{k}=\binom{n}{n-k}\), \(\sum_k\binom{n}{k}=2^n\).

Quel dénombrement choisir ?

Situation	Ordre	Remise	Nombre
Permutations	Oui	Non	\(n!\)
Arrangements \(A_n^k\)	Oui	Non	\(\dfrac{n!}{(n-k)!}\)
Combinaisons \(\binom{n}{k}\)	Non	Non	\(\dfrac{n!}{k!(n-k)!}\)
Tirage avec remise	Oui	Oui	\(n^k\)

Méthodes

Méthode Résoudre un problème de dénombrement

Identifier l'ensemble universel et les ensembles en jeu.
Traduire les conditions en opérations ensemblistes.
Choisir la formule : ordre + sans remise → \(A_n^k\) ; sans ordre → \(\binom{n}{k}\) ; avec remise → \(n^k\) ; cardinal d'union → inclusion-exclusion.
Calculer puis vérifier l'ordre de grandeur.

Erreurs fréquentes

Attention

❌ Écrire \(\overline{A\cup B}=\bar A\cup\bar B\).

✅ Par De Morgan : \(\overline{A\cup B}=\bar A\cap\bar B\) (l'union devient intersection).

❌ Additionner \(|A|+|B|\) quand \(A\) et \(B\) ne sont pas disjoints.

✅ Retrancher l'intersection : \(|A\cup B|=|A|+|B|-|A\cap B|\).

❌ Confondre arrangement et combinaison.

✅ Se demander si l'ordre compte : oui → \(A_n^k\) ; non → \(\binom{n}{k}\).