Exercices – Chapitre 23

Éléments de théorie des ensembles | BTS | Mathématiques

Dernière mise à jour : 15 juin 2026

Rappels : \(A\cup B\) (union), \(A\cap B\) (intersection). Formule du cardinal : \(|A\cup B|=|A|+|B|-|A\cap B|\). Produit cartésien : \(|A\times B|=|A|\times|B|\). Nombre de parties d'un ensemble à \(n\) éléments : \(2^n\).

Exercice 1 — Opérations

\(A=\{1,2,3,4\}\), \(B=\{3,4,5,6\}\).

1. Donne \(A\cup B\) et \(A\cap B\). 2. Donne \(A\setminus B\) (éléments de \(A\) pas dans \(B\)).

1. \(A\cup B=\{1,2,3,4,5,6\}\) ; \(A\cap B=\{3,4\}\).

2. \(A\setminus B=\{1,2\}\).

Exercice 2 — Formule du cardinal

On sait que \(|A|=12\), \(|B|=9\), \(|A\cap B|=5\). Calcule \(|A\cup B|\).

\(|A\cup B|=12+9-5=16\).

Exercice 3 — Produit cartésien

\(A\) a 4 éléments, \(B\) a 3 éléments.

1. Combien de couples dans \(A\times B\) ? 2. Combien de parties possède \(A\) ?

1. \(|A\times B|=4\times3=12\). 2. \(2^4=16\) parties.

Exercice 4 — Inclusion-exclusion (problème)

Dans un groupe de 30 étudiants, 18 suivent l'option anglais, 15 l'option informatique, et 8 suivent les deux.

1. Combien suivent au moins une des deux options ?

2. Combien n'en suivent aucune ?

1. \(|A\cup I|=18+15-8=25\).

2. \(30-25=5\) étudiants ne suivent aucune option.

Exercice 5 — Lien avec les bases de données (type BTS)

Deux tables : la table CLIENTS_A (120 lignes) et CLIENTS_B (80 lignes), avec 30 clients communs.

Combien de clients distincts au total (équivalent d'un UNION) ?

\(120+80-30=170\) clients distincts (l'opérateur SQL UNION élimine les doublons : c'est la formule du cardinal).