Chapitre 23 – Éléments de théorie des ensembles

Soit \(A = \{x \in \mathbb{N} \mid x \text{ impair},\; x \leq 9\}\).

1. Écrire \(A\) en extension (liste de ses éléments).
2. Donner le cardinal \(|A|\).
3. Les affirmations \(5 \in A\) et \(6 \in A\) sont-elles vraies ?

Soit \(A = \{2, 4\}\), \(B = \{1, 2, 3, 4, 5\}\) et \(C = \{2, 6\}\). Indiquer si les relations suivantes sont vraies ou fausses, en justifiant.

1. \(A \subseteq B\)
2. \(C \subseteq B\)
3. \(A \subsetneq B\)

Soit \(A = \{1, 2, 3\}\).

1. Énumérer tous les éléments de l'ensemble des parties \(\mathcal{P}(A)\).
2. Vérifier que \(|\mathcal{P}(A)| = 2^{|A|}\).

Une base de données contient \(A = \{\text{REF01, REF03, REF05, REF07}\}\) (produits en stock) et \(B = \{\text{REF02, REF03, REF05, REF09}\}\) (produits commandés). Indiquer pour chaque affirmation si elle est vraie ou fausse.

1. \(\text{REF03} \in A\) et \(\text{REF03} \in B\)
2. \(\text{REF01} \in B\)
3. \(|A| = |B|\)

Soit \(E = \{1,2,3,4,5,6\}\), \(A = \{1,2,3\}\) et \(B = \{2,3,4\}\). Déterminer en extension :

1. \(A \cup B\)
2. \(A \cap B\)
3. \(\bar{A}\) (complémentaire dans \(E\))
4. \(A \setminus B\)

Avec les mêmes ensembles qu'à l'exercice 5 (\(E=\{1,..,6\}\), \(A=\{1,2,3\}\), \(B=\{2,3,4\}\)), montrer que \(A \setminus B = A \cap \bar{B}\).

Soit \(E = \{1,2,3,4,5,6\}\), \(A = \{1,2,3\}\) et \(B = \{2,3,4\}\). Vérifier la première loi de De Morgan : \(\overline{A \cup B} = \bar{A} \cap \bar{B}\).

Avec les mêmes ensembles, vérifier la seconde loi de De Morgan : \(\overline{A \cap B} = \bar{A} \cup \bar{B}\).

Soit \(A = \{1, 2\}\) et \(B = \{x, y, z\}\).

1. Écrire en extension le produit cartésien \(A \times B\).
2. Donner \(|A \times B|\) et vérifier la formule \(|A \times B| = |A| \times |B|\).

Sur 200 clients interrogés : 120 sont satisfaits du SAV (ensemble \(A\)), 90 sont satisfaits du délai (ensemble \(B\)) et 60 sont satisfaits des deux.

1. Combien de clients sont satisfaits d'au moins un critère ?
2. Combien ne sont satisfaits d'aucun des deux critères ?

Sur 500 pièces contrôlées, on relève trois types de défauts : surface \(|A| = 80\), dimensionnel \(|B| = 60\), matière \(|C| = 40\). De plus \(|A \cap B| = 15\), \(|A \cap C| = 10\), \(|B \cap C| = 8\) et \(|A \cap B \cap C| = 3\). Combien de pièces présentent au moins un défaut ?

Dans une promotion, la probabilité qu'un étudiant suive l'option A est \(P(A) = 0{,}4\), celle qu'il suive l'option B est \(P(B) = 0{,}3\), et celle qu'il suive les deux est \(P(A \cap B) = 0{,}1\). Calculer la probabilité \(P(A \cup B)\) qu'un étudiant suive au moins une des deux options.

Un code d'accès est formé d'une lettre majuscule (26 possibles) suivie de deux chiffres (0 à 9, répétitions autorisées).

1. Combien de codes différents peut-on former ?
2. Combien de codes commencent par la lettre A ?

On dispose de 4 pièces différentes à aligner sur un banc d'assemblage.

1. Combien d'ordres d'alignement (permutations) sont possibles ?
2. On forme à présent un code PIN de 4 chiffres distincts choisis parmi \(\{0,1,...,9\}\). Combien de codes possibles ?

Un technicien prélève 5 pièces parmi un lot de 20 pour un contrôle qualité (l'ordre du prélèvement n'a pas d'importance). Combien d'échantillons différents peut-il constituer ?

Calculer les coefficients binomiaux suivants en utilisant les propriétés (symétrie, valeurs particulières) :

1. \(\displaystyle\binom{8}{0}\)
2. \(\displaystyle\binom{8}{1}\)
3. \(\displaystyle\binom{8}{2}\)
4. \(\displaystyle\binom{8}{6}\)

À l'aide de la relation de Pascal \(\binom{n}{k} = \binom{n-1}{k-1} + \binom{n-1}{k}\), calculer \(\binom{6}{3}\) sachant que \(\binom{5}{2} = 10\) et \(\binom{5}{3} = 10\). Construire ensuite la ligne \(n = 6\) du triangle de Pascal.

Un sac contient 6 boules rouges et 4 boules bleues. On tire 3 boules simultanément.

1. Combien de tirages différents au total ?
2. Combien de tirages contiennent exactement 2 rouges et 1 bleue ?
3. En déduire la probabilité d'obtenir exactement 2 rouges et 1 bleue.