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Interrogation — Ch22 : Algèbres de Boole

BTS | Mathématiques | Durée : 40 min | /20

Dernière mise à jour : 21 juin 2026

Nom : _____ Prénom : _____ Date : _____

Exercice 1 — Axiomes de base (3 pts)

En utilisant les axiomes de l'algèbre de Boole, donner directement le résultat simplifié de chaque expression.

  1. \(A \cdot 1\)  et  \(A + 0\) (1 pt)
  2. \(A + \bar{A}\)  et  \(A \cdot \bar{A}\) (1 pt)
  3. \(A + 1\)  et  \(A \cdot A\) (1 pt)

Exercice 2 — Théorèmes de De Morgan (4 pts)

Appliquer les théorèmes de De Morgan pour développer la négation, puis simplifier l'écriture.

  1. Développer \(\overline{A + B}\). (1,5 pt)
  2. Développer et simplifier \(\overline{A \cdot B + C}\). (2,5 pts)

Exercice 3 — Table de vérité (4 pts)

Soit la fonction \(S = A \cdot \bar{B} + \bar{A} \cdot B\) (ou exclusif).

  1. Compléter la table de vérité de \(S\) pour les 4 combinaisons de \((A, B)\). (3 pts)
  2. Quelle porte logique élémentaire réalise cette fonction ? (1 pt)
ABS
00…
01…
10…
11…

Exercice 4 — Simplification algébrique (5 pts)

Simplifier au maximum les fonctions booléennes suivantes en justifiant les axiomes utilisés.

  1. \(f = \bar{A}B + AB\) (2 pts)
  2. \(g = A + \bar{A}B\) (3 pts)

Exercice 5 — Tableau de Karnaugh (4 pts)

Un technicien en automatismes a obtenu, pour une commande à 3 entrées \((A, B, C)\), le tableau de Karnaugh ci-dessous (colonnes en code Gray).

A \ BC00011110
A=01001
A=11111
  1. Entourer les groupements (implicants) les plus grands possibles. (2 pts)
  2. En déduire l'expression simplifiée de la sortie \(S\). (2 pts)

Correction

Exercice 1 (3 pts)

a) \(A \cdot 1 = A\) (élément neutre du ET) ; \(A + 0 = A\) (élément neutre du OU). (1 pt)

b) \(A + \bar{A} = 1\) ; \(A \cdot \bar{A} = 0\) (complémentarité). (1 pt)

c) \(A + 1 = 1\) (élément absorbant du OU) ; \(A \cdot A = A\) (idempotence). (1 pt)

Exercice 2 (4 pts)

a) \(\overline{A + B} = \bar{A} \cdot \bar{B}\) (le NON d'un OU est le ET des NON). (1,5 pt)

b) On pose la négation sur la somme \((A\cdot B) + C\) : \[\overline{A \cdot B + C} = \overline{A\cdot B} \cdot \bar{C} = (\bar{A} + \bar{B}) \cdot \bar{C}.\] On a d'abord appliqué \(\overline{X + Y} = \bar{X}\cdot\bar{Y}\), puis \(\overline{A\cdot B} = \bar{A}+\bar{B}\). (2,5 pts)

Exercice 3 (4 pts)

a) Table de vérité de \(S = A\bar{B} + \bar{A}B\) : (3 pts)

ABS
000
011
101
110

(Pour \((0,0)\) : \(0\cdot 1 + 1\cdot 0 = 0\) ; \((0,1)\) : \(0\cdot 0 + 1\cdot 1 = 1\) ; \((1,0)\) : \(1\cdot 1 + 0\cdot 0 = 1\) ; \((1,1)\) : \(1\cdot 0 + 0\cdot 1 = 0\).)

b) \(S\) vaut \(1\) lorsque \(A\) et \(B\) diffèrent : c'est la porte XOR (OU exclusif), \(S = A \oplus B\). (1 pt)

Exercice 4 (5 pts)

a) \(f = \bar{A}B + AB = B(\bar{A} + A) = B \cdot 1 = B\). (2 pts)

b) \(g = A + \bar{A}B\). Par distributivité : \(A + \bar{A}B = (A + \bar{A})(A + B) = 1 \cdot (A + B) = A + B\). (On peut aussi reconnaître directement la propriété \(A + \bar{A}B = A + B\).) (3 pts)

Exercice 5 (4 pts)

a) Deux grands groupements de 4 cases : (2 pts)

  • la ligne \(A=1\) entière (4 cases à 1) → terme \(A\) ;
  • les colonnes 00 et 10 (4 cases à 1, adjacentes par cyclage) : ce sont les cases où \(C=0\) → terme \(\bar{C}\).

b) En réunissant les deux implicants : \(S = A + \bar{C}\). (2 pts)

Vérification : les seules cases à 0 sont \((A{=}0, BC{=}01)\) et \((A{=}0, BC{=}11)\), c'est-à-dire \(A=0\) et \(C=1\). Pour ces deux cases, \(A + \bar{C} = 0 + 0 = 0\) ✓ ; partout ailleurs \(A=1\) ou \(C=0\) donne \(1\) ✓.

Total : 3 + 4 + 4 + 5 + 4 = 20 points.