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L'essentiel :
- Trois opérations sur \(\{0,1\}\) : OU (\(+\)), ET (\(\cdot\)), NON (\(\bar{\ }\)). Priorité : NON > ET > OU.
- De Morgan : \(\overline{a\cdot b}=\bar a+\bar b\) et \(\overline{a+b}=\bar a\cdot\bar b\) (on change l'opérateur).
- On simplifie une fonction par l'algèbre ou par un tableau de Karnaugh (groupes de \(2^k\) cases adjacentes).
- Les portes NAND et NOR sont universelles. Circuits combinatoires : sortie = f(entrées) ; circuits séquentiels (bascules) : sortie = f(entrées + état mémorisé).
Définitions clés
Définition
Fonction booléenne : application \(f:\{0,1\}^n\to\{0,1\}\). Sa table de vérité comporte \(2^n\) lignes.
Définition
Minterme \(m_i\) : produit de toutes les variables (complémentées ou non). FND = somme des mintermes où \(f=1\). FNC = produit des maxtermes où \(f=0\).
Définition
Tableau de Karnaugh : grille en code Gray (cases voisines différant d'un seul bit), cyclique : les bords opposés sont adjacents.
Formules à connaître
Axiomes fondamentaux
\[a+0=a\quad a\cdot1=a\qquad a+1=1\quad a\cdot0=0\]
\[a+a=a\quad a\cdot a=a\qquad a+\bar a=1\quad a\cdot\bar a=0\qquad\overline{\bar a}=a\]
\[a+ab=a\qquad a(a+b)=a\quad(\text{absorption})\]
Théorèmes de De Morgan
\[\overline{a\cdot b}=\bar a+\bar b\qquad\overline{a+b}=\bar a\cdot\bar b\]
OU exclusif et équivalence
\[a\oplus b=a\bar b+\bar a b\qquad\overline{a\oplus b}=ab+\bar a\bar b\]
Tables des opérations de base
Récapitulatif des bascules
| Bascule | Entrées | Équation | Particularité |
|---|
| RS | S, R | Set ou Reset de \(Q\) | \(S=R=1\) interdit |
| JK | J, K | \(Q_{n+1}=J\bar Q_n+\bar K Q_n\) | \(J=K=1\) → toggle |
| D | D | \(Q_{n+1}=D\) | recopie sur front d'horloge |
| T | T | \(Q_{n+1}=T\oplus Q_n\) | diviseur de fréquence |
Circuits combinatoires usuels : demi-additionneur (\(S=A\oplus B\), \(C_{out}=AB\)), additionneur complet, comparateur, multiplexeur (MUX), décodeur.
Méthodes
Méthode
Simplifier une fonction (algèbre)
- Développer si nécessaire (distributivité).
- Regrouper les termes à sous-produit commun.
- Appliquer absorption, idempotence, complémentarité.
- Vérifier sur quelques lignes de la table de vérité.
Méthode
Simplifier par tableau de Karnaugh
- Remplir la grille en code Gray (00, 01, 11, 10).
- Repérer les groupes de \(2^k\) cases à 1 adjacentes, les plus grands d'abord.
- Utiliser la cyclicité (coins, bords opposés) et les « don't care » si utiles.
- Chaque groupe donne un terme ; en faire la somme.
Erreurs fréquentes
Attention
❌ Écrire \(\overline{a+b}=\bar a+\bar b\).
✅ De Morgan change l'opérateur : \(\overline{a+b}=\bar a\cdot\bar b\).
❌ Mal lire la priorité : interpréter \(ab+c\) comme \(a(b+c)\).
✅ \(ab+c\) signifie \((a\cdot b)+c\) (ET prioritaire sur OU).
❌ Utiliser l'état \(S=R=1\) sur une bascule RS.
✅ Cet état est interdit (sorties contradictoires). La bascule JK le redéfinit en basculement.