Exercices – Chapitre 22

Algèbres de Boole | BTS | Mathématiques

Dernière mise à jour : 15 juin 2026

Rappels : notations \(a+b\) (OU), \(a\cdot b\) (ET), \(\bar a\) (NON). Règles : \(a+a=a\), \(a\cdot a=a\), \(a+1=1\), \(a\cdot0=0\), \(a+\bar a=1\), \(a\cdot\bar a=0\). Absorption : \(a+a\cdot b=a\). De Morgan : \(\overline{a\cdot b}=\bar a+\bar b\) et \(\overline{a+b}=\bar a\cdot\bar b\).

Exercice 1 — Table de vérité

Dresse la table de vérité de \(f=a\cdot b+\bar a\) (variables \(a,b\)).

\(a=0\) : \(\bar a=1\) donc \(f=1\) (quel que soit \(b\)). \(a=1\) : \(\bar a=0\), \(f=b\).
Donc \(f(0,0)=1\), \(f(0,1)=1\), \(f(1,0)=0\), \(f(1,1)=1\).

Exercice 2 — Simplifications

Simplifie : 1. \(a+a\cdot b\) 2. \(a\cdot(a+b)\) 3. \(a+\bar a\cdot b\).

1. \(a+a\cdot b=a\) (absorption).

2. \(a\cdot(a+b)=a\) (absorption).

3. \(a+\bar a\cdot b=a+b\) (règle classique).

Exercice 3 — Lois de De Morgan

Exprime sans barre globale : 1. \(\overline{a\cdot b}\) 2. \(\overline{a+b}\).

1. \(\overline{a\cdot b}=\bar a+\bar b\). 2. \(\overline{a+b}=\bar a\cdot\bar b\).

Exercice 4 — Portes logiques

Donne la sortie d'une porte NAND (NON-ET) pour les entrées \((a,b)\) = (1,1), (1,0), (0,0).

NAND \(=\overline{a\cdot b}\). (1,1) → \(\overline1=0\) ; (1,0) → \(\overline0=1\) ; (0,0) → \(\overline0=1\).

Exercice 5 — Circuit combinatoire (type BTS)

Un système d'alarme se déclenche (\(S=1\)) si le contact \(a\) est ouvert OU si le détecteur \(b\) ET le détecteur \(c\) sont actifs.

1. Écris l'expression booléenne de \(S\).

2. Donne \(S\) pour \(a=0,b=1,c=1\).

1. \(S=a+b\cdot c\).

2. \(S=0+1\cdot1=1\) : l'alarme se déclenche.